[논문 리뷰] The Calder\'on problem for the fractional Schr\"odinger equation with drift.

Mihajlo Cekić, Yi‐Hsuan Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 09.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 34인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비국소적(비국소성) 캘러드론 문제에 대해 드리프트 항을 포함하는 경우에 대해 유일성과 안정성 결과를 최초로 확립하며, 외부 측정치로부터 드리프트 항과 포텐셜을 유일하고 안정적으로 재구성할 수 있음을 증명한다. 국소적(s=1) 경우와 달리, 비국소 문제에서는 게이지 불변성이 없어 전체 계수 복원이 가능하며, 특이점 이론과 룬게 근사법을 이용해 유한 측정치 기반 재구성 알고리즘을 구축하였다.

ABSTRACT

We investigate the Calder\'on problem for the fractional Schr\"odinger equation with drift, proving that the unknown drift and potential in a bounded domain can be determined simultaneously and uniquely by an infinite number of exterior measurements. In particular, in contrast to its local analogue, this nonlocal problem does \emph{not} enjoy a gauge invariance. The uniqueness result is complemented by an associated logarithmic stability estimate under suitable apriori assumptions. Also uniqueness under finitely many \emph{generic} measurements is discussed. Here the genericity is obtained through \emph{singularity theory} which might also be interesting in the context of hybrid inverse problems. Combined with the results from \cite{GRSU18}, this yields a finite measurements constructive reconstruction algorithm for the fractional Calder\'on problem with drift. The inverse problem is formulated as a partial data type nonlocal problem and it is considered in any dimension $n\geq 1$.

연구 동기 및 목표

• 유계 리프시츠 도메인 내에서 드리프트 항을 포함하는 분수 슈뢰딩거 방정식에 대한 경계 측정치로부터 드리프트 및 포텐셜 계수를 복원하는 역문제를 해결한다.
• 국소적(s=1) 경우에 존재하는 게이지 불변성 장애를 극복하여 비국소 캘러드론 문제에 대해 유일성과 안정성을 확립한다.
• 임의의 차원 n ≥ 1 에서 적용 가능한, 분수 캘러드론 문제에 대한 유한 측정치 재구성 알고리즘을 개발한다.
• 특이점 이론, 특히 위트니의 결정성 다양체 이론을 활용해, 유한 측정치 기반의 일반적 유일성 증명을 수행한다.
• 런게 근사법과 정량적 유일 연속성의 활용을 통해 국소적이지 않은 설정으로 부분 데이터 역문제 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• 유계 리프시츠 도메인 내에서 드리프트 항을 포함하는 분수 슈뢰딩거 방정식에 대한 부분 데이터 문제로 역문제를 수립한다.
• 분수 소볼레프 공간과 경계 추적 정리의 활용을 통해 외부 값 문제의 잘 정의됨을 보장한다.
• 드리프트 항을 포함하는 분수 슈뢰딩거 방정식의 해에 대해 룬게 유형의 근사 성질을 증명한다.
• 정량적 유일 연속 추정치를 활용해, 계수에 대한 사전 유계 조건 하에 로그 안정성 추정치를 도출한다.
• 특이점 이론(야코비안 행렬의 계수에 대한 위트니의 결과)을 적용하여, 일반적인 유한 측정치 집합이 계수를 유일하게 결정함을 보인다.
• 특이점 이론에서 유도된 비영인 행렬식의 일반성과 고차 근사 기법을 조합하여, 유한 측정치 재구성 알고리즘을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 항을 포함하는 분수 슈뢰딩거 방정식에서 외부 측정치로부터 드리프트 및 포텐셜을 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 비국소 설정에서 게이지 불변성이 없기 때문에 국소적 경우와 달리 전체 계수 복원이 가능한가?
• RQ3 일반적인 유한 개의 외부 측정치가 드리프트 및 포텐셜 계수를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ4 계수에 대한 사전 유계 조건 하에, 이 역문제에 대해 어떤 안정성 추정치를 확립할 수 있는가?
• RQ5 특이점 이론은 비국소 역문제에서 유한 측정치에 대한 일반적 유일성을 어떻게 증명하는 데 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소적 경우와는 달리, 드리프트 항을 포함하는 분수 캘러드론 문제에서는 드리프트 및 포텐셜 계수의 유일한 복원이 가능하며, 게이지 불변성에 의한 장애가 없다.
• 계수에 대한 적절한 사전 유계 조건 하에, 이 역문제에 대해 로그 안정성 추정치를 증명하였다.
• 고차 근사 기법과 특이점 이론에서 유도된 비영인 행렬식의 일반성에 기반한 유한 측정치 재구성 알고리즘을 구축하였다.
• 위트니의 계수 이론을 활용해, 일반적인 유한 측정치 기반의 유일성 조건을 확립하였으며, 나쁜 측정 구성의 집합이 적어도 차원 n+1 이상의 여차원을 가짐을 보였다.
• 런게 근사 성질이 드리프트 항을 포함하는 분수 슈뢰딩거 방정식으로 확장되어, 에너지 공간 내에서 해의 조밀한 근사가 가능함을 보였다.
• 결과는 임의의 차원 n ≥ 1 에서 유효하며, 외부 측정치만을 사용하는 부분 데이터 문제에 적용 가능하다.