[논문 리뷰] The cohomology of semi-infinite Deligne--Lusztig varieties

Charlotte Chan|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 06.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소체 위의 분할 대수에 대해 반무한 Deligne–Lusztig 다양체의 코homology에 관한 Lusztig의 1979년 추측을 증명하며, 코homology가 순수하고 단일 차수에 놓여 있음을 확립한다. 호모로지에서의 토루스-고유공간이 기약 초우주스피달 표현임을 보이며, 유한형 스킴 $X_h$ 로부터 구성된 인드-스킴의 코homology를 통해 이러한 표현들의 기하적 실현을 제공한다. 핵심 결과는 호모로지 군의 완전한 기술이며, 이는 단일 코hom로지 차수에 지지되는 기약 표현을 얻는다.

ABSTRACT

We prove a 1979 conjecture of Lusztig on the cohomology of semi-infinite Deligne--Lusztig varieties attached to division algebras over local fields. We also prove the two conjectures of Boyarchenko on these varieties. It is known that in this setting, the semi-infinite Deligne--Lusztig varieties are ind-schemes comprised of limits of certain finite-type schemes $X_h$. Boyarchenko's two conjectures are on the maximality of $X_h$ and on the behavior of the torus-eigenspaces of their cohomology. Both of these conjectures were known in full generality only for division algebras with Hasse invariant $1/n$ in the case $h = 2$ (the "lowest level") by the work of Boyarchenko--Weinstein on the cohomology of a special affinoid in the Lubin--Tate tower. We prove that the number of rational points of $X_h$ attains its Weil--Deligne bound, so that the cohomology of $X_h$ is pure in a very strong sense. We prove that the torus-eigenspaces of $H_c^i(X_h)$ are irreducible representations and are supported in exactly one cohomological degree. Finally, we give a complete description of the homology groups of the semi-infinite Deligne--Lusztig varieties attached to any division algebra, thus giving a geometric realization of the unramified supercuspidal representations of these groups. We expect that the techniques developed in this paper will be useful in studying these constructions for reductive groups over local fields in general.

연구 동기 및 목표

• 국소체 위의 분할 대수에 대해 반무한 Deligne–Lusztig 다양체의 코homology에 관한 Lusztig의 1979년 추측을 증명한다.
• Boyarchenko의 두 추측, 즉 유한형 스킴 $X_h$ 의 최대성과 코homology에서의 토루스-고유공간의 행동을 검증한다.
• 이러한 인드-스킴의 호모로지를 통해 $p$-진군의 초우주스피달 표현들의 기하적 실현을 제공한다.
• 스킴 $X_h$ 의 코homology가 Weil–Deligne 경계에 도달함을 증명하여 강한 의미에서의 순수성을 이끌어낸다.
• 반무한 다양체의 호모로지에서의 토루스-고유공간의 정확한 코hom로지 차수와 기약성을 규명한다.

제안 방법

• 유니포텐트 군 스킴 $\mathbb{U}_{h,k}$ 를 사용하여, 유한형 스킴 $X_h$ 의 극한을 통해 반무한 Deligne–Lusztig 다양체를 인드-스킴으로 구성한다.
• Howe 인수분해를 적용하여 문자 $\theta$ 를 분석하고, 깊이 $h$ 와 노름 사상의 구조에 따라 코hom로지 차수 $r_\theta$ 를 결정한다.
• 호모로지와 컴acts지지된 코homology 사이의 이중성 $H_i(X_h) \cong H_c^{2(n-1)(h-1)-i}(X_h) \otimes q^{n(n-1)(h-1)}$ 을 사용하여 연관짓는다.
• 전역 호모로지와 $X_h$ 상의 국소 자료를 연결하기 위해 등식 $H_i(\widetilde{X}_h) \cong \operatorname{Ind}_{\widetilde{\Gamma}_h}^{(L^\times/U_L^h) \times (D^\times/U_D^{n(h-1)+1})} H_i(X_h)$ 를 수립한다.
• 유한한 유니포텐트 군에 대한 Deligne–Lusztig 이론을 적용하여 고유공간의 교대합을 계산하고, 단일 차수에서의 비영성질을 증명한다.
• 트레이스 공식과 갈루아 불변성을 사용하여, $\theta$ 가 $\operatorname{Gal}(L/K)$-안정자와 자명할 경우 유도 표현 $\eta_\theta$ 가 기약임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소체 위의 분할 대수에 대해 반무한 Deligne–Lusztig 다양체의 코homology는 Weil–Deligne 경계를 충족하는가? 이는 순수성을 강하게 의미하는가?
• RQ2 스킴 $X_h$ 의 코homology에서의 토루스-고유공간은 기약 표현인가? 그리고 단일 코hom로지 차수 외에는 영이 되는가?
• RQ3 반무한 다양체의 호모로지는 $X_h$ 로부터의 유도를 통해 초우주스피달 표현들을 기하적으로 실현할 수 있는가?
• RQ4 코hom로지 차수 $r_\theta$ 는 $\theta$ 의 Howe 인수분해에 의해 결정되며, $\ell$-adic 오일러 특성으로부터 예상되는 차수와 일치하는가?
• RQ5 $D^\times$-표현 $H_{r_\theta}(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$ 는 어떤 조건에서 기약인가?

주요 결과

• 스킴 $X_h$ 의 유리점 수가 Weil–Deligne 경계에 도달하며, 이는 $H_c^i(X_h, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)$ 가 강한 의미에서 순수함을 의미한다.
• 토루스-고유공간 $H_i(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$ 는 $i = r_\theta$ 일 때에만 비영이며, $r_\theta$ 는 $\theta$ 의 Howe 인수분해에 의해 결정된다.
• 만약 $\theta$ 가 $\operatorname{Gal}(L/K)$-안정자와 자명할 경우, 호모로지 군 $H_i(\widetilde{X}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\theta]$ 는 $D^\times$ 의 기약 표현이 된다.
• 표현 $\eta_\theta \cong \operatorname{Ind}_{\mathbb{Z} \cdot \mathcal{O}_D^\times}^{D^\times} \eta_\theta'$ 는 $H_c^{r_\chi}(X_h, \overline{\mathbb{Q}}_\ell)[\chi]$ 에서 유도되며, 여기서 $\chi = \theta|_{U_L^1}$ 이다.
• 매우 정규 원소 $x \in \mathcal{O}_L^\times$ 에 대해 $\eta_\theta(x)$ 의 트레이스는 $(-1)^{r_\theta} \sum_{\gamma \in \operatorname{Gal}(L/K)} \theta^\gamma(x)$ 이며, 이는 유도 표현의 문자 공식을 확인한다.
• 표현 $\eta_\theta^\circ$ 는 $\mathcal{O}_D^\times / U_D^{n(h-1)+1}$ 으로 확장되며, 매우 정규 원소 $\zeta \in \mathcal{O}_L^\times$ 에서 트레이스가 $(-1)^{r_\theta} \theta(\zeta)$ 로 주어져, 유도 과정과의 호환성을 보장한다.