[논문 리뷰] The Computational Complexity of Ball Permutations

Scott Aaronson, Adam Bouland외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구분 가능한 입자(공)의 순열 기반으로 하는 양자 및 고전적 모델의 계산 복잡도를 조사한다. 표준 기저 입력을 가진 양자 공 순열 모델은 DQC1에 포함되며, 이는 보편성이 떨어지는 능력을 나타내며, 특정 입력 상태는 인코딩된 계산을 통해 BQP 보편성을 달성한다. 제한된, 적분 가능한 버전은 후행 선택(postselection)에 의해 보편적이 되며, 이는 효율적인 고전적 시뮬레이션이 가능하다면 계산 계층이 붕괴됨을 의미한다.

ABSTRACT

Inspired by connections to two dimensional quantum theory, we define several models of computation based on permuting distinguishable particles (which we call balls), and characterize their computational complexity. In the quantum setting, we find that the computational power of this model depends on the initial input states. More precisely, with a standard basis input state, we show how to approximate the amplitudes of this model within additive error using the model DQC1 (the class of problems solvable with one clean qubit), providing evidence that the model in this case is weaker than universal quantum computing. However, for specific choices of input states, the model is shown to be universal for BQP in an encoded sense. We use representation theory of the symmetric group to partially classify the computational complexity of this model for arbitrary input states. Interestingly, we find some input states which yield a model intermediate between DQC1 and BQP. Furthermore, we consider a restricted version of this model based on an integrable scattering problem in 1+1 dimensions. We show it is universal under postselection, if we allow intermediate destructive measurements and specific input states. Therefore, the existence of any classical procedure to sample from the output distribution of this model within multiplicative error implies collapse of polynomial hierarchy to its third level. Finally, we define a classical version of this model in which one can probabilistically permute balls. We find this yields a complexity class which is intermediate between L and BPP. Moreover, we find a nondeterministic version of this model is NP-complete.

연구 동기 및 목표

• 일차원 시스템에서 구분 가능한 입자(공)의 순열 기반으로 하는 양자 및 고전적 모델의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 초기 양자 상태의 선택이 공 순열 모델의 계산 능력에 어떻게 영향을 미치는지 조사하는 것.
• 특히 1+1 차원에서의 적분 가능한 산란 기반의 제한된 모델 버전이 후행 선택 하에서 보편 양자 계산을 달성하는지 여부를 판단하는 것.
• 고전적 확률적 및 비결정적 변형인 공 순열 모델을 정의하고 분석하여 그 복잡도 클래스를 규명하는 것.

제안 방법

• n개의 구분 가능한 공의 순열에 작용하는 두 입자 부분 교환 게이트를 포함하는 양자 모델을 수립하며, |x,y⟩ → c|x,y⟩ + is|y,x⟩ 로 표현되며 c² + s² = 1을 만족한다.
• 대칭군 Sₙ의 표현 이론을 사용하여 힐베르트 공간 ℂSₙ을 기약 표현(irreps)으로 분해하고, 공 순열 게이트가 이러한 부분공간에 미치는 영향을 분석한다.
• 브릿지 보조정리와 분지 규칙을 적용하여 게이트에 의해 생성되는 유니터리 군을 연구하며, 특히 두 행 또는 두 열을 가진 양의 다이어그램에 해당하는 기약 표현에 초점을 맞춘다.
• 1+1 차원에서의 적분 가능한 산란 기반의 제한된 모델을 도입하며, 특정 입력 상태 하에서 후행 선택 하에 보편성이 달성됨을 보여준다.
• 고전적 유사 모델을 정의한다: 확률적 모델(RBall)과 비결정적 모델(NBall)이며, 이들의 복잡도를 L, BPP, 그리고 NP와 비교 분석한다.
• 트레이스 추정과 평균 트레이스 계산을 사용하여 양자 모델의 진폭을 DQC1 및 BQP와 같은 알려진 복잡도 클래스와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 기저 상태 |12…n⟩로 초기화된 공 순열 양자 모델의 계산 능력은 무엇인가?
• RQ2 특정 초기 상태 하에서 공 순열 모델이 BQP 보편성을 달성할 수 있는가? 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ3 확률적 공 순열 모델(RBall)의 복잡도는 무엇이며, L, BPP, Almost-L와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 적분 가능한 공 순열 모델은 후행 선택 하에서 보편적이 되는가? 고전적 시뮬레이션에 대해 어떤 함의를 지닌다?
• RQ5 공 순열 모델의 수세기 버전의 복잡도는 무엇이며, #P에 해당하는가?

주요 결과

• 초기 상태로 |12…n⟩을 사용하는 공 순열 모델은 DQC1에 포함되며, 이는 BQP에 대해 보편적이지 않으며 따라서 전체 양자 계산보다 훨씬 약한 능력을 지닌다는 것을 시사한다.
• 특정 기약 표현(예: 두 행 또는 두 열을 가진 양의 다이어그램)에 대해서는 모델이 가능한 한 큰 유니터리 군을 생성하며, 이는 BQP 보편성의 잠재적 가능성과 관련된다.
• 특정 입력 상태 하에서 모델은 약속된 방식으로 BQP 보편성을 달성한다. 이는 진폭 추정 문제의 복잡도가 BQP-완전해지기 때문이다.
• 제한된, 적분 가능한 공 순열 모델은 후행 선택 하에 보편적이 된다. 따라서 이 모델을 효율적으로 고전적으로 샘플링할 수 있다면 다항계층이 세 번째 수준으로 붕괴된다.
• 확률적 공 순열 모델(RBall)은 BPL ⊆ RBall ⊆ Almost-L를 만족하며, RBall에 대해 두 번의 적응형 질의를 통해 Almost-L를 시뮬레이션할 수 있다. 그러나 한 번의 질의로의 시뮬레이션은 열려있다.
• 비결정적 공 순열 모델(NBall)은 NP-완전이며, 수세기 버전 #Ball은 다항적 오차 범위 내에서 근사 가능성이 없으며, 이는 P = NP가 아닐 경우에 해당한다.