[논문 리뷰] The Computational Complexity of Linear Optics

Scott Aaronson|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 58인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비상호작용 광자를 갖는 선형 광학 네트워크를 사용하는 양자 컴퓨팅 프레임워크인 BosonSampling 모델을 소개한다. 이 모델은 고전적 컴퓨터가 효율적으로 해결할 수 없는 샘플링 문제를 해결할 수 있으며, 만약 고전적 컴퓨터가 이 모델을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다면 다항식 계층 구조가 붕괴됨을 증명한다. 이는 단지 선형 광학과 영구행렬 계산을 사용한 양자 우월성에 대한 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We give new evidence that quantum computers -- moreover, rudimentary quantum computers built entirely out of linear-optical elements -- cannot be efficiently simulated by classical computers. In particular, we define a model of computation in which identical photons are generated, sent through a linear-optical network, then nonadaptively measured to count the number of photons in each mode. This model is not known or believed to be universal for quantum computation, and indeed, we discuss the prospects for realizing the model using current technology. On the other hand, we prove that the model is able to solve sampling problems and search problems that are classically intractable under plausible assumptions. Our first result says that, if there exists a polynomial-time classical algorithm that samples from the same probability distribution as a linear-optical network, then P^#P=BPP^NP, and hence the polynomial hierarchy collapses to the third level. Unfortunately, this result assumes an extremely accurate simulation. Our main result suggests that even an approximate or noisy classical simulation would already imply a collapse of the polynomial hierarchy. For this, we need two unproven conjectures: the "Permanent-of-Gaussians Conjecture", which says that it is #P-hard to approximate the permanent of a matrix A of independent N(0,1) Gaussian entries, with high probability over A; and the "Permanent Anti-Concentration Conjecture", which says that |Per(A)|>=sqrt(n!)/poly(n) with high probability over A. We present evidence for these conjectures, both of which seem interesting even apart from our application. This paper does not assume knowledge of quantum optics. Indeed, part of its goal is to develop the beautiful theory of noninteracting bosons underlying our model, and its connection to the permanent function, in a self-contained way accessible to theoretical computer scientists.

연구 동기 및 목표

• 선형 광학 기반 양자 컴퓨터가 고전적 컴퓨터가 다룰 수 없는 문제를 해결할 수 있음을 입증하는 것.
• 비상호작용 보손이 선형 광학 네트워크에 존재하는 샘플링 문제로 BosonSampling 모델을 체계화하는 것.
• 이 모델의 효율적 고전적 시뮬레이션이 가능하다면 다항식 계층 구조가 붕괴됨을 입증하는 것. 이는 타당한 복잡도론적 추측을 바탕으로 한다.
• 현재 광학 기술을 활용한 실험적 실현 가능성을 제시하는 것. 비록 이 모델이 보편적이지는 않지만 말이다.

제안 방법

• 모델은 동일한 광자를 생성하고, 이를 선형 광학 단위행렬 네트워크를 통과시킨 후 각 출력 모드의 광자 수 분포를 측정한다.
• 특정 측정 결과의 확률은 단위행렬 변환 행렬의 부분행렬의 제곱 영구행렬에 비례한다.
• 논문은 BosonSampling을 시뮬레이션하는 데 필요한 난이도를 랜덤 가우시안 행렬의 영구행렬을 근사하는 데 필요한 계산 난이도로 환원한다.
• 논문은 두 가지 핵심 추측을 도입한다: 영구행렬-가우시안 추측(영구행렬 근사화는 #P-난이도임)과 영구행렬 반집중 추측(영구행렬의 크기는 일반적으로 크다).
• 분석은 복잡도론적 감소를 사용하여, 만약 고전적 시뮬레이션이 효율적이라면 P^#P = BPP^NP가 되어 다항식 계층 구조가 붕괴됨을 보여준다.
• 이 프레임워크는 현재 광학 기술로 실험적으로 실현 가능하며, 큐비트 얽힘 또는 보편 양자 게이트가 필요로 하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 광학 기반 양자 컴퓨터는 고전적으로 해결할 수 없는 샘플링 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 고전적 컴퓨터가 선형 광학 양자 시스템을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있다면 어떤 복잡도론적 결과가 도출되는가?
• RQ3 논문에서 제안한 바와 같이, 임의의 가우시안 행렬의 영구행렬을 근사하는 것은 #P-난이도인가?
• RQ4 임의의 행렬의 영구행렬이 일반적으로 크다는 것을 입증할 수 있는가? 이는 출력 분포가 몇 가지 결과에 집중되어 있지 않음을 보장한다.
• RQ5 BosonSampling을 통해 양자 우월성을 입증하기 위해 필요한 최소한의 실험적 설정은 무엇인가?

주요 결과

• 만약 고전적 컴퓨터가 BosonSampling 모델을 정확히 시뮬레이션할 수 있다면, P^#P = BPP^NP가 되어 다항식 계층 구조가 세 번째 수준으로 붕괴됨을 의미한다.
• 영구행렬-가우시안 추측과 영구행렬 반집중 추측이 성립할 경우, 조작된 고전적 시뮬레이션 역시 다항식 계층 구조의 붕괴를 초래함을 보여준다.
• 논문은 이 두 추측을 지지하는 수치적 및 이론적 증거를 제공하며, 특히 가우시안 행렬의 영구행렬이 일반적으로 √n! / poly(n)의 크기를 갖는다는 점을 입증함으로써 비잔영 샘플링 분포를 보장한다.
• 이 모델은 보편 양자 계산을 위한 것이 아니지만, 여전히 고전적으로 어려운 것으로 여겨지는 샘플링 문제를 해결할 수 있다.
• 이 프레임워크는 현재 광학 기술로 실험적으로 실현 가능하며, 대규모 양자 컴퓨터 없이도 양자 우월성을 입증할 수 있는 잠재적 길을 제공한다.
• 결과적으로 선형 광학 양자 시스템은 확장된 추론-튜링 추측의 위반에 대해 가장 강력한 알려진 증거를 제공할 수 있음을 시사한다.