[논문 리뷰] The Curse of Medium Dimension for Geometric Problems in Almost Every Norm.

Roee David, C. S. Karthik외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 10.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 62인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중간 차원 $d = \Theta(\log N)$에서 $\ell_p$-노름에 대해 기본적인 기하 문제인 가까운 쌍, 지름, 유클리드 최소 스패닝 트리에 대해 비제곱 시간 하한을 설정한다. 강력한 지수 시간 가설(Strong Exponential-Time Hypothesis, SETH)에 기반한 SAT로의 감소를 통해, 이러한 문제들에 대해 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-시간 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, 거의 모든 $\ell_p$-노름에서 '중간 차원의 저주'를 규명한다.

ABSTRACT

Given a point-set, finding the Closest Pair of points in the set, determining its Diameter, and computing a Euclidean Minimum Spanning Tree are amongst the most fundamental problems in Computer Science and Computational Geometry. In this paper, we study the complexity of these three problems in medium dimension, i.e., dimension $d=\Theta(\log N)$, and for various $\ell_p$-norms. We show a reduction from SAT to these geometric problems in medium dimension, thus showing that these problems have no subquadratic-time algorithm, i.e., no $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-time algorithm for any $\varepsilon>0$, under the Strong Exponential-Time Hypothesis (SETH). In particular, under SETH we prove the following results: $\bullet$ For every $p\geq 0$, there is no subquadratic-time algorithm for the Diameter problem, in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$. $\bullet$ There is no subquadratic-time algorithm for the Euclidean Minimum Spanning Tree problem in dimension $d=\Theta(\log N)$. $\bullet$ For every $p\in \mathbb{R}_{>2}\cup \{\infty\}$, there is no subquadratic-time algorithm for the Closest Pair problem in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$. Additionally, we prove a subquadratic lower bound for a generalization of the Closest Pair problem, namely the Set Closest Pair problem for all norms $\ell_p$, $p\in\mathbb{R}_{\geq 1}\cup\{\infty\}$. Many of our proofs go through a reduction from the Bichromatic Closest Pair problem; we prove that for every $p\in\mathbb{R}^+\cup \{\infty\}$, there is no subquadratic-time algorithm for the Bichromatic Closest Pair problem in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$, extending a result by Alman and Williams [FOCS 2015]. To show certain limitations of our techniques, we also prove a Point-Set Separation lemma for the $\ell_2$-norm, which might be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 중간 차원 공간에서의 기본 기하 문제의 계산 복잡도를 조사하는 것 — $d = \Theta(\log N)$.
• 중간 차원에서 가까운 쌍, 지름, 유클리드 최소 스패닝 트리 문제에 대해 비제곱 시간 알고리즘이 존재하는지 여부를 규명하는 것.
• 기존의 이분 가까운 쌍 문제의 하드함 결과를 표준 가까운 쌍 문제 및 관련 문제들로 확장하여 모든 $\ell_p$-노름에 대해 적용하는 것.
• 다양한 노름 하에서 중간 차원 기하 문제에 적용 가능한 일반적인 하한 프레임워크를 수립하는 것.
• 점 집합 분리 레미마를 $\ell_2$-노름에 대해 증명하여 현재 기술의 한계를 규명하고, 주요 결과를 넘어서 유용할 수 있는 잠재적 응용을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 중간 차원에서의 기하 문제로 부울 만족 가능성 문제(SAT)를 감소시켜 조건부 하한을 설정하는 것.
• 비제곱 알고리즘을 배제하기 위해 강력한 지수 시간 가설(SETH)을 복잡도 가설로 사용하는 것.
• 이분 가까운 쌍 문제에서의 감소를 통해 표준 가까운 쌍 문제 및 집합 가까운 쌍 문제의 하드함을 증명하는 것.
• 모든 $\ell_p$-노름, $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$ 및 $p=2$를 처리하기 위해 노름 특화 기하 분석을 적용하는 것.
• $\ell_2$-노름에 대한 점 집합 분리 레미마를 도입하여 감소 기법의 구조적 한계를 분석하는 것.
• 가까운 쌍 문제로부터의 감소를 통해 유클리드 최소 스패닝 트리 문제로의 하드함 결과를 일반화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중간 차원에서 차원 $d = \Theta(\log N)$일 때, $\ell_p$-노름에서 지름 문제에 대해 비제곱 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 중간 차원에서 $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$일 때, $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$ 시간에 가까운 쌍 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 모든 $\ell_p$-노름에서 중간 차원에서 집합 가까운 쌍 문제에 대해 비제곱 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 이분 가까운 쌍 문제는 중간 차원에서 표준 기하 문제의 하드함 기반으로 사용될 수 있는가?
• RQ5 특히 $\ell_2$-노름에서 현재 감소 기법의 한계는 무엇인가?

주요 결과

• SETH 하에, $d = \Theta(\log N)$일 때 모든 $p \geq 0$에 대해 $\ell_p$-노름에서 지름 문제에 대해 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-시간 알고리즘이 존재하지 않는다.
• SETH 하에, 차원 $d = \Theta\left(\log N\right)$에서 유클리드 최소 스패닝 트리 문제에 대해 비제곱 시간 알고리즘이 존재하지 않는다.
• $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$에 대해, 중간 차원 $d = \Theta(\log N)$에서 가까운 쌍 문제에 대해 $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-시간 알고리즘이 존재하지 않는다.
• 모든 $\ell_p$-노름에서 $p \in \mathbb{R}_{\geq 1} \cup \{\infty\}$에 대해, 중간 차원에서 집합 가까운 쌍 문제에 대해 비제곱 시간 알고리즘이 존재하지 않는다. SETH 하에.
• 모든 $p \in \mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$에 대해, 중간 차원에서 이분 가까운 쌍 문제도 하드하며, Alman와 Williams의 이전 결과를 확장한다.
• $\ell_2$-노름에 대한 점 집합 분리 레미마가 증명되었으며, 이는 독립적으로도 관심을 끌 수 있고 감소 프레임워크의 본질적 한계를 드러낸다.