[논문 리뷰] The Eichler cohomology theorem for Jacobi forms

Dohoon Choi, Subong Lim|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 13.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제약된 성장 조건을 만족하는 정칙 함수의 공간을 사용하여 제약된 성장 조건을 만족하는 정칙 함수의 공간을 사용하여 제라비 군에 대한 코homology 군을 정의하고, 임의의 실수 무게를 가진 제라비 형식에 대해 Eichler cohomology 이sovomorphism 정리가 성립함을 보여준다. 이는 부분 L-함수의 임계값을 통해 첫 번째 코homology 군이 제라비 촉점 형식의 공간과 동형임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $Γ$ be a finitely generated Fuchsian group of the first kind which has at least one parabolic class. Eichler introduced a cohomology theory for Fuchsian groups, called as "Eichler cohomology theory", and established the $\CC$-linear isomorphism from the direct sum of two spaces of cusp forms on $Γ$ with the same integral weight to the Eichler cohomology group of $Γ$. After the results of Eichler, the Eichler cohomology theory was generalized in various ways. For example, these results were generalized by Knopp to the cases with arbitrary real weights. In this paper, we extend the Eichler cohomology theory to the context of Jacobi forms. We define the cohomology groups of Jacobi groups which are analogues of Eichler cohomology groups and prove an Eichler cohomology theorem for Jacobi forms of arbitrary real weights. Furthermore, we prove that every cocycle is parabolic and that for some special cases we have an isomorphism between the cohomology group and the space of Jacobi forms in terms of the critical values of partial $L$-functions of Jacobi cusp forms.

연구 동기 및 목표

• 이전에 무한차원 코homology 군을 유도한 제라비 군에 대한 코호모로지 이론을 정교화하기 위해.
• 기존 Eichler 정리와 유사한 코호모로지 동형을 제라비 형식의 맥락에서 수립하기 위해.
• 제라비 군의 첫 번째 코호모로지 군이 부분 L-함수의 임계값을 통해 제라비 촉점 형식의 공간과 동형임을 증명하기 위해.
• 모든 코chain이 파라볼릭임을 보여주어 이전 정의에서 발생한 핵심적인 구조적 문제를 해결하기 위해.
• Knopp의 실수 무게 Eichler 코호모로지 이론을 제라비 설정으로 일반화하여 정수 무게를 초월한 이론을 확장하기 위해.

제안 방법

• 제약된 성장 조건을 만족하는 정칙 함수의 공간 $\mathcal{P}^e_{\mathcal{M}}$ 를 사용하여 제라비 군 $\Gamma^{(1,j)} = \Gamma \ltimes (\mathbb{Z}^{(j,1)})^2$ 에 대한 코호모로지 군을 정의한다.
• 무게 $k$, 인덱스 $\mathcal{M}$, 승수 체계 $\chi$-twisted 작용을 슬래시 연산자 $|_{k,\mathcal{M},\chi}$ 와 $|_{\mathcal{M}}$ 을 통해 정의한다.
• 짧은 정확한 수열 $0 \to \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}} \to \mathcal{P}_{\mathcal{M}} \to \mathcal{P}_{\mathcal{M}}/\mathcal{P}^e_{\mathcal{M}} \to 0$ 과 관련된 코호모로지의 장점 정확한 수열을 사용하여 $H^1$ 의 구조를 분석한다.
• 부분 L-함수의 임계값을 통해 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 가 제라비 촉점 형식의 공간 $S_{k,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)})$ 과 동형임을 증명한다.
• 모든 $n>0$ 과 $r_1 \notin \mathbb{Z}$ 에 대해 $\{p^{n,r}_{(\gamma,X)}\}$ 의 명시적 비자명한 코chain을 구성하여 전체 코호모로지 군이 무한차원임을 보여준다.
• $r_1 \notin \mathbb{Z}$ 일 때 코chain $p^{n,r}_{(0,\mathbf{e}_1)} = q^n e^{2\pi i \mathrm{tr}(rz)}$ 가 코 boundary 가 아님을 보여주어 선형 독립성과 무한차원성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Eichler 코호모로지 이론은 임의의 실수 무게를 가진 제라비 형식으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 제라비 군에 대해 제라비 촉점 형식의 공간과 동형이 되는 코호모로지 군이 존재하는가?
• RQ3 이전 연구에서 정의된 코호모로지 군(예: [3])이 왜 무한차원인가? 그리고 어떻게 이를 정교화하여 유한차원 코호모로지 군을 얻을 수 있는가?
• RQ4 부분 L-함수의 임계값은 코호모로지 클래스와 제라비 형식을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 모든 코chain이 파라볼릭인가? 이는 코호모로지 공간의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 부분 L-함수의 임계값을 통해 첫 번째 코호모로지 군 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 는 제라비 촉점 형식의 공간 $S_{k,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)})$ 과 동형이다.
• 모든 $n>0$ 과 $r_1 \notin \mathbb{Z}$ 에 대해 $\{p^{n,r}_{(\gamma,X)}\}$ 의 비가역적 선형 독립 코chain을 구성함으로써 코호모로지 군 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 는 무한차원임을 입증하였다.
• 코chain $p^{n,r}_{(0,\mathbf{e}_1)} = q^n e^{2\pi i \mathrm{tr}(rz)}$ 는 코 boundary 가 아니며, 이는 비자명한 코호모로지 클래스의 존재를 의미한다.
• $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 에서 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 로의 사상은 단사적임을 보여주어 정교화된 코호모로지 군이 원래 군보다 엄밀히 작음을 확인하였다.
• 모든 코chain이 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 에서 파라볼릭임을 확인하여 Eichler 원래 정리와 유사한 구조적 성질을 확인하였다.
• $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}_{\mathcal{M}})$ 는 $H^1_{-k+j/2,\mathcal{M},\chi}(\Gamma^{(1,j)}, \mathcal{P}^e_{\mathcal{M}})$ 보다 엄밀히 크며, 이는 정교화된 정의가 유한차원성을 회복하기 위해 필수적임을 확인하였다.