[논문 리뷰] The Generalized Hypergeometric Structure of the Ward Identities of CFT's in Momentum Space in $d > 2$

Claudio Corianò, Matteo Maria Maglio|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 27.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 57인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $d > 2$에서의 CFT에 대해 운동량 공간에서의 등각 워드 항등식의 일반화된 초함수적 구조를 유도한다. 스칼라 3- 및 4점 함수가 3K 적분과 Appell $F_4$ 함수를 통해 기술될 수 있음을 보이며, 이중 등각 불변성에 의해 운동량의 4차 비율이 나타난다. 주요 기여는 이러한 초함수적 형태가 등각 대칭 제약 조건의 해임을 규명한 것으로, Lauricella 함수 및 점점 가까이 다가오는 극한에서의 4K 적분과의 연결을 포함한다.

ABSTRACT

We review the emergence of hypergeometric structures (of $F_4$ Appell functions) from the conformal Ward identities (CWIs) in conformal field theories (CFTs) in dimensions $d > 2$. We illustrate the case of scalar 3- and 4-point functions. 3-point functions are associated to hypergeometric systems with 4 independent solutions. For symmetric correlators they can be expressed in terms of a single 3K integral - functions of quadratic ratios of momenta - which is a parametric integral of three modified Bessel $K$ functions. In the case of scalar 4-point functions, by requiring the correlator to be conformal invariant in coordinate space as well as in some dual variables (i.e. dual conformal invariant), its explicit expression is also given by a 3K integral, or as a linear combination of Appell functions which are now quartic ratios of momenta. Similar expressions have been obtained in the past in the computation of an infinite class of planar ladder (Feynman) diagrams in perturbation theory, which, however, do not share the same (dual conformal/conformal) symmetry of our solutions. We then discuss some hypergeometric functions of 3 variables, which define 8 particular solutions of the CWIs and correspond to Lauricella functions. They can also be combined in terms of 4K integral and appear in an asymptotic description of the scalar 4-point function, in special kinematical limits.

연구 동기 및 목표

• CFT의 $d > 2$에서 등각 워드 항등식에서 초함수적 함수가 어떻게 나타나는지 이해하기.
• 적분 표현을 사용하여 스칼라 3- 및 4점 함수의 명시적 운동량 공간 표현을 유도하기.
• 이중 등각 불변성이 스칼라 4점 함수의 형태를 Appell $F_4$ 함수와 3K 적분으로 제약하는 방식을 확립하기.
• 이러한 해를 점점 가까이 다가오는 운동량 기하학적 극한에서의 Lauricella 함수 및 4K 적분과 연결하기.

제안 방법

• d > 2 차원에서 스칼라 3- 및 4점 함수에 대한 운동량 공간에서의 등각 워드 항등식을 유도한다.
• 3점 함수를 제곱형 운동량 비율의 수정형 Bessel $K$ 함수를 포함하는 3K 적분으로 표현한다.
• 이중 등각 불변성을 적용하여 4점 함수를 운동량의 4차 비율을 포함하는 형태로 제약한다.
• CWIs의 해를 Appell $F_4$ 함수로 식별하고, Bessel 함수의 매개수적 적분과 연결한다.
• 3변수 초함수를 사용하여 CWI 시스템의 8가지 특수 해를 분석한다. 이는 Lauricella 함수에 해당한다.
• 4점 함수의 점점 가까이 다가오는 전개를 4K 적분과 3변수 초함수를 사용하여 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CFT의 $d > 2$에서 운동량 공간에서의 등각 워드 항등식으로부터 초함수적 함수가 어떻게 유도되는가?
• RQ2 스칼라 3점 함수의 명시적 운동량 공간 구조는 적분 표현을 통해 어떻게 기술되는가?
• RQ3 이중 등각 불변성이 스칼라 4점 함수의 형태를 운동량 공간에서 어떻게 제약하는가?
• RQ4 Lauricella 함수는 등각 워드 항등식의 특정 해를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 4K 적분과 3변수 초함수는 4점 함수의 점점 가까이 다가오는 극한에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• d > 2에서 스칼라 3점 함수는 3개의 수정형 Bessel $K$ 함수를 포함하는 단일 3K 적분으로 기술되며, 이는 운동량 비율의 제곱형 형태에 해당한다.
• 3점 함수 해는 4개의 독립적 해를 가지며, 이는 $F_4$ 유형의 초함수로 실현될 수 있다.
• 등각 및 이중 등각 불변성을 모두 만족하는 스칼라 4점 함수는 3K 적분 또는 운동량의 4차 비율을 포함하는 Appell $F_4$ 함수의 선형 조합으로 표현된다.
• 4점 함수 해는 3변수 Lauricella 초함수와 연결되며, 이는 등각 워드 항등식의 8가지 특수 해를 정의한다.
• 특수한 운동량 기하학적 극한에서 4점 함수는 4K 적분과 3변수 초함수를 사용한 점점 가까이 다가오는 기술을 갖는다.
• 유도된 표현은 평면 래더 다이어그램에서 알려진 결과를 일반화하지만, 기초가 되는 등각 및 이중 등각 대칭 구조에서 다릅니다.