[논문 리뷰] The Gromov-Hausdorff distance between ultrametric spaces: its structure and computation

Facundo Mémoli, Zane Smith외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 07.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 초거리 공간에 특화된 기존 Gromov-Hausdorff 거리의 새로운 변종인 $u_{\mathrm{GH}}$를 제안하며, 표준 $d_{\mathrm{GH}}$가 NP-난이도임에도 불구하고 다항시간 내에 계산 가능하다는 것을 증명한다. 초거리 공간의 구조적 성질을 활용하고 이중화 상수를 기반으로 한 고정 매개변수 다항시간 알고리즘을 도입함으로써, $d_{\mathrm{GH}}$에 대해 계산 가능성이 보장되는 하위클래스를 규명하였으며, 이는 이 문제에 대해 알려진 바 있는 최초의 정확한 알고리즘이다.

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff distance ($d_\mathrm{GH}$) provides a natural way of quantifying the dissimilarity between two given metric spaces. It is known that computing $d_\mathrm{GH}$ between two finite metric spaces is NP-hard, even in the case of finite ultrametric spaces which are highly structured metric spaces in the sense that they satisfy the so-called \emph{strong triangle inequality}. Ultrametric spaces naturally arise in many applications such as hierarchical clustering, phylogenetics, genomics, and even linguistics. By exploiting the special structures of ultrametric spaces, (1) we identify a one parameter family $\{d_\mathrm{GH}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$ of distances defined in a flavor similar to the Gromov-Hausdorff distance on the collection of finite ultrametric spaces, and in particular $d_\mathrm{GH}^{(1)} =d_\mathrm{GH}$. The extreme case when $p=\infty$, which we also denote by $u_\mathrm{GH}$, turns out to be an ultrametric on the collection of ultrametric spaces. Whereas for all $p\in[1,\infty)$, $d_\mathrm{GH}^{(p)}$ yields NP-hard problems, we prove that surprisingly $u_\mathrm{GH}$ can be computed in polynomial time. The proof is based on a structural theorem for $u_\mathrm{GH}$ established in this paper; (2) inspired by the structural theorem for $u_\mathrm{GH}$, and by carefully leveraging properties of ultrametric spaces, we also establish a structural theorem for $d_\mathrm{GH}$ when restricted to ultrametric spaces. This structural theorem allows us to identify special families of ultrametric spaces on which $d_\mathrm{GH}$ is computationally tractable. These families are determined by properties related to the doubling constant of metric space. Based on these families, we devise a fixed-parameter tractable (FPT) algorithm for computing the exact value of $d_\mathrm{GH}$ between ultrametric spaces. We believe ours is the first such algorithm to be identified.

연구 동기 및 목표

• 유전계통수학 및 계층적 군집화에서 흔한 초거리 공간의 맥락에서, 유한 거리 공간 간 Gromov-Hausdorff 거리 계산의 NP-난이도 문제를 다루는 것.
• 초거리 공간에서 Gromov-Hausdorff 거리의 변종이 다항시간 내에 계산 가능한지 조사하는 것.
• 표준 Gromov-Hausdorff 거리가 계산 가능성이 보장되는 초거리 공간의 부분집합을 규명하는 것.
• 이중화 상수와 관련된 구조적 성질을 활용하여, 초거리 공간 간 $d_{\mathrm{GH}}$의 정확한 계산을 위한 고정 매개변수 다항시간(FPT) 알고리즘을 개발하는 것.

제안 방법

• 유한 초거리 공간에 대해 일차 파라미터 가중 거리 집합 $\{d_{\mathrm{GH}}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$를 도입하며, $d_{\mathrm{GH}}^{(1)} = d_{\mathrm{GH}}$이고, $p=\infty$의 경우는 $u_{\mathrm{GH}}$로 표기한다.
• 특정 초거리 공간에만 적용 가능한 구조 정리에 기반해 $u_{\mathrm{GH}}$가 초거리 공간임을 증명하고, 다항시간 내에 계산 가능하다는 것을 보인다.
• 초거리 공간에 제한된 $d_{\mathrm{GH}}$에 대해 구조 정리를 수립하여, 더 작은 인스턴스로의 재귀적 감소를 가능하게 한다.
• 이중화 상수가 유한하고 왜곡이 통제된 초거리 공간의 클래스 $\mathcal{U}_2(\varepsilon, \gamma)$를 정의하여, 매개변수 복잡도 분석을 가능하게 한다.
• 이중화 상수와 관련된 매개변수 $\gamma$를 사용하여, $d_{\mathrm{GH}}(X,Y)$를 계산하는 고정 매개변수 다항시간(FPT) 알고리즘을 설계하며, 시간 복잡도는 $O(n^2 \log^3 n \cdot 2^{2\gamma} (2\gamma)^{2\gamma+2})$이다.
• 거리 수준의 순서를 기반으로 한 이중화 검색과 대응 기반 기법을 사용하여, 두 초거리 공간 간 $\varepsilon$-대응이 존재하는 최소 $\varepsilon$를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 $d_{\mathrm{GH}}$가 NP-난이도임에도 불구하고, 유한 초거리 공간에서 Gromov-Hausdorff 거리의 변종이 다항시간 내에 계산 가능한가?
• RQ2 표준 Gromov-Hausdorff 거리가 계산 가능성이 보장되는 초거리 공간의 부분집합이 존재하는가?
• RQ3 초거리 공간의 어떤 구조적 성질이 $d_{\mathrm{GH}}$의 효율적 계산을 가능하게 하는가?
• RQ4 초거리 공간의 이중화 상수를 매개변수로 사용하여 $d_{\mathrm{GH}}$에 대한 고정 매개변수 다항시간 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 Gromov-Hausdorff 거리와 초거리 구조 사이의 관계, 특히 구역 포함성과 동치류 측면에서의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $p=\infty$ 변종인 Gromov-Hausdorff 거리 $u_{\mathrm{GH}}$는 컴acts 초거리 공간의 공간에서 초거리이며, 다항시간 내에 계산 가능하다.
• 표준 Gromov-Hausdorff 거리 $d_{\mathrm{GH}}$는 유한 초거리 공간에 대해서도 계산이 NP-난이도임이 Schmiedl(2010)에 의해 입증되었다.
• $u_{\mathrm{GH}}$에 대한 구조 정리는 거리 계산을 초거리 공간의 더 작은 하위문제로 재귀적으로 분해할 수 있도록 한다.
• 이중화 상수가 $K$이고 왜곡이 $\delta$인 초거리 공간에 대해, 공의 $\varepsilon$-동치류의 수는 $K^{\log_2((2\delta + 4\varepsilon)/s) + 1}$ 이하로 유계이다. 여기서 $s$는 분리 상수이다.
• 이중화 상수와 관련된 매개변수 $\gamma$를 사용하여, $d_{\mathrm{GH}}(X,Y)$를 계산하는 고정 매개변수 다항시간(FPT) 알고리즘을 개발하였으며, 시간 복잡도는 $O(n^2 \log^3 n \cdot 2^{2\gamma} (2\gamma)^{2\gamma+2})$이다.
• 알고리즘은 거리 수준에 대한 이중화 검색과 대응 확인 기법을 사용하여 문제를 더 작은 인스턴스로 감소시키며, 초거리 공간에서 정확한 $d_{\mathrm{GH}}$ 계산을 위한 첫 번째 알려진 FPT 알고리즘이다.