[논문 리뷰] The Higson-Roe exact sequence and $\ell^2$ eta invariants

Moulay-Tahar Benameur, Indrava Roy|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 09.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 히전-로에 최대 구조 군에서 ℝ로의 ℓ² 상대 에타 준동형을 케이퍼-그로브 ℓ² 에타 불변량을 통해 구성하여 키프라니의 ℓ² 고정성 정리들에 대한 새로운 증명을 제공한다. 이 준동형을 스핀 디라크 연산자의 구조류에 적용하면 스핀 ℓ² 로-인variants를 얻고, 방향성 있는 호모토피 동치에 적용하면 서명 연산자에 대한 ℓ² 로-인variants의 차를 얻는다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to solve the problem of existence of an $\ell^2$ relative eta morphism on the Higson-Roe structure group. Using the Cheeger-Gromov $\ell^2$ eta invariant, we construct a group morphism from the Higson-Roe maximal structure group constructed in [HiRo:10] to the reals. When we apply this morphism to the structure class associated with the spin Dirac operator for a metric of positive scalar curvature, we get the spin $\ell^2$ rho invariant. When we apply this morphism to the structure class associated with an oriented homotopy equivalence, we get the difference of the $\ell^2$ rho invariants of the corresponding signature operators. We thus get new proofs for the classical $\ell^2$ rigidity theorems of Keswani obtained in [Ke:00].

연구 동기 및 목표

• 히전-로 구조 군에서의 ℓ² 상대 에타 준동형의 존재 문제를 해결하기 위해.
• 히전-로 정확수열과 케이퍼-그로브 불변량을 통한 ℓ² 에타 불변량 간의 연결을 설정하기 위해.
• 구조 준동형을 사용하여 키프라니의 고전적 ℓ² 고정성 정리들에 대한 새로운 증명을 제공하기 위해.
• 이 준동형을 스핀 디라크 연산자에 적용하면 스핀 ℓ² 로-인variants를 얻는 것을 보여주기 위해.
• 이 준동형을 호모토피 동치에 적용하면 서명 연산자에 대한 ℓ² 로-인variants의 차를 얻는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 케이퍼-그로브 ℓ² 에타 불변량을 사용하여 히전-로 최대 구조 군에서 ℝ로의 군 준동형을 구성한다.
• 스핀 디라크 연산자의 구조류에 이 준동형을 적용하여 스핀 ℓ² 로-인variants를 도출한다.
• 방향성 있는 호모토피 동치의 구조류에 이 준동형을 적용하여 서명 연산자에 대한 ℓ² 로-인variants의 차를 도출한다.
• 히전-로 정확수열과 ℓ² 해석적 구조 군과의 호환성을 이용하여 준동형을 정의한다.
• 캘러돈 프로젝션과 커버링 공간 위의 일반화된 디라크 연산자 핵들 사이의 Γ-동치형 이sovomorphism에 의존한다.
• 연산자의 트레이스와 소볼레프 공간 이sovomorphism을 사용하여 다양한 경계값 문제 간의 핵 구조를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히전-로 최대 구조 군에서 ℓ² 상대 에타 준동형이 존재하는가?
• RQ2 케이퍼-그로브 ℓ² 에타 불변량을 사용하여 히전-로 구조 군에서 ℝ로의 군 준동형을 정의할 수 있는가?
• RQ3 양의 스칼라 곡률을 가진 스핀 디라크 연산자의 구조류가 이 준동형에 의해 어떤 이미지를 갖는가?
• RQ4 방향성 있는 호모토피 동치와 관련된 구조류가 이 준동형에 의해 어떤 이미지를 갖는가?
• RQ5 이 준동형이 키프라니의 ℓ² 고정성 정리들에 대한 새로운 증명을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 스칼라 곡률이 양수인 스핀 디라크 연산자의 구조류에 이 준동형을 적용하면 스핀 ℓ² 로-인variants를 얻는다.
• 방향성 있는 호모토피 동치의 구조류에 이 준동형을 적용하면 해당 서명 연산자에 대한 ℓ² 로-인variants의 차를 얻는다.
• 이 구성은 스핀 케이스와 서명 연산자 케이스에 대해 키프라니의 ℓ² 고정성 정리들에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• ℓ² 상대 에타 준동형은 잘 정의되어 있으며 히전-로 정확수열의 구조를 유지한다.
• 케이퍼-그로브 불변량을 통해 준동형은 히전-로 최대 구조 군과 ℓ² 해석적 구조 군 간에 호환된다.
• 캘러돈 프로젝션과 Γ-동치형 이sovomorphism으로 유도된 핵 이sovomorphism은 경계값 문제 간의 준동형 일致성을 확인한다.