[논문 리뷰] The local principle of large deviations for compound Poisson process with catastrophes

A. V. Logachov, O. Logachova외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 19.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 성장과 황재를 수반하는 연속시간 마르코프 과정에 대한 국소 대수통계 원리(LLDP)를 수립한다. 황재는 포아송 과정으로 발생하며 인구의 무작위 분율을 제거한다. 주요 기여는 점프 크기 분포와 황재 강도에 일반적인 조건을 두었을 때, 과정의 최대값에 대한 엄밀한 점근적 상한을 도출하고, LLDP를 증명하는 것이다.

ABSTRACT

The continuous time Markov process considered in this paper belongs to a class of population models with linear growth and catastrophes. There, the catastrophes happen at the arrival times of a Poisson process, and at each catastrophe time, a randomly selected portion of the population is eliminated. For this population process, we derive an asymptotic upper bound for the maximum value and prove the local large deviation principle.

연구 동기 및 목표

• 선형 번식과 포아송 과정에 의해 유도되는 황재를 갖는 인구 과정의 대수통계 행동을 분석한다.
• 인구 크기에 대한 큰 이탈을 포함하는 희귀 사건을 특징짓는 국소 대수통계 원리(LLDP)를 수립한다.
• 유한 시간 간격 동안 과정의 최대값에 대한 점근적 상한을 유도한다.
• 특히 인구 모델의 맥락에서 무작위 재설정과 황재를 갖는 과정으로 대수통계 이론 프레임워크를 확장한다.
• 대수통계 기법을 사용하여 랜덤한 황재 사건 하에서 인구 생존 최적 전략을 연구하는 기초를 제공한다.

제안 방법

• 황재 발생 시점에서의 점프를 나타내는 포아송 도착 시점에서의 선형 이동과 함께 연속시간 마르코프 과정으로 인구 과정을 모델링한다.
• 각 황재 시점에서 인구의 분율을 제거하는 무작위 점프 크기를 갖는 복합 포아송 과정으로 과정을 정의한다.
• 황재 수와 황재 이전의 인구 크기에 조건을 두어 경로 행동을 분석한다.
• 지수 기울임과 희귀 사건에 대한 조건부 기대를 포함한 대수통계 기법을 적용하여 큰 이탈 확률의 상한을 도출한다.
• 황재 간의 궤적 행동을 제어하기 위해 $ A_k $, $ B_k $, $ G_{k_l} $, $ H_{k_l} $ 등의 보조 사건을 도입한다.
• 점프 크기 분포가 황재 이전 상태와 독립적이라는 가정과 점프 크기의 균일성 조건을 바탕으로 전이 확률에 대한 상한을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 시간 간격 동안 복합 포아송 과정에 황재가 존재할 경우, 최대 인구 수치의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 무작위 점프와 재설정 사건을 갖는 과정에 대해 국소 대수통계 원리를 어떻게 엄밀히 수립할 수 있는가?
• RQ3 인구 크기가 일반적인 경로에서 크게 이탈하는 희귀 사건의 확률을 지배하는 속도 함수는 무엇인가?
• RQ4 황재 강도와 점프 크기 분포는 극단적 인구 수치의 발생 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 모든 시간 간격에 대해 균일하게 성립하는 과정의 최대값에 대한 상한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 시간 간격 동안 과정의 최대값에 대해 점근적 상한이 도출되었으며, 이는 큰 값이 지수적으로 불가능하다는 것을 보여준다.
• 과정에 대해 국소 대수통계 원리(LLDP)가 증명되었으며, 이는 희귀 사건의 확률 감소 속도를 특징짓는 속도 함수를 수립한다.
• 점프 크기 분포가 균일성 조건을 만족할 경우, 최대값에 대한 상한이 시간에 따라 지수적으로 감소함을 보였다.
• 큰 값 $ g^* $ 에 도달하는 경로를 관측할 확률은 $ \varepsilon^3 $, $ \Delta $, 그리고 황재 수를 포함하는 표현으로 상한이 제시되었으며, 이는 지수 감소를 나타낸다.
• 황재 수에 대한 조건부 기대를 두고, 멸종을 피하면서 고인구 수준에 도달하는 경로의 가능성 확률을 상한으로 제시하였다.
• 임계값 이하로 떨어지지 않고 다수의 황재를 생존하는 조건부 확률의 상한이 사건 수에 따라 지수적으로 감소함을 보였으며, 이는 그러한 극단적 경로의 희귀성을 확인한다.