[논문 리뷰] The matching polytope has exponential extension complexity

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 11.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 26인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프의 완벽 매칭 다면체의 확장 복잡도가 $2^{\bar{\Omega}(n)}$임을 증명하여, 다항수준의 선형 프로그램으로는 이를 표현할 수 없음을 보여준다. 이 결과는 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결하며, 추가 변수가 있더라도 약식으로 표현하기 위해 필요한 제약 조건의 수가 $n$에 대해 지수적으로 증가함을 보이고, TSP 다면체의 하한을 $2^{\bar{\Omega}(n)}$로 강화한다.

ABSTRACT

A popular method in combinatorial optimization is to express polytopes P, which may potentially have exponentially many facets, as solutions of linear programs that use few extra variables to reduce the number of constraints down to a polynomial. After two decades of standstill, recent years have brought amazing progress in showing lower bounds for the so called extension complexity, which for a polytope P denotes the smallest number of inequalities necessary to describe a higher dimensional polytope Q that can be linearly projected on P. However, the central question in this field remained wide open: can the perfect matching polytope be written as an LP with polynomially many constraints? We answer this question negatively. In fact, the extension complexity of the perfect matching polytope in a complete n-node graph is 2^Omega(n). By a known reduction this also improves the lower bound on the extension complexity for the TSP polytope from 2^Omega(n^1/2) to 2^Omega(n).

연구 동기 및 목표

• 확장 복잡도 분야의 핵심 열린 문제인, 완벽 매칭 다면체가 다항수준의 선형계획형식으로 표현 가능한가를 다루다.
• 완전 그래프에서의 완벽 매칭 다면체의 확장 복잡도에 대해 초다항 하한을 확립하다.
• 기존의 환원 기법을 통해 TSP 다면체의 하한을 확장하다.
• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 매칭 다면체의 $(1+\varepsilon)$-근사에 대한 날카운 하한을 제공하다.
• 매칭 다면체의 근사에 대해 알려진 상한과 하한 사이의 격차를 해결하다.

제안 방법

• 통신 복잡도에서 유래한 사각형 커버링 기법을 확장 복잡도의 하한을 증명하기 위해 응용하다.
• 이전에 피오리니 등에 의해 지수적 확장 복잡도가 입증된 상관 다면체로의 환원을 사용하다.
• 사각형 손상 보조정리와 통신 복잡도 기법을 적용하여 슬랙 행렬의 비음수 랭크를 분석하다.
• 홀수 컷 부등식의 구조를 활용하여 부분그래프의 확장 복잡도를 전체 그래프와 연결하는 리프팅 추론을 구축하다.
• 이중성 원리를 사용하여, 매칭 다면체를 $1+\varepsilon$ 범위 내에서 근사하는 임의의 다면체는 높은 확장 복잡도를 가져야 함을 보이다.
• 브라운과 포크타(2014)의 결과를 스케일링 및 부분그래프 제약 기법과 결합하여 모든 $\varepsilon$에 대해 날카운 하한을 유도하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 $n$-노드 그래프에서의 완벽 매칭 다면체는 다항수준의 제약 조건을 가진 선형계획형식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 완벽 매칭 다면체의 정확한 확장 복잡도는 무엇이며, $n$에 대해 지수적으로 증가하는가?
• RQ3 매칭 다면체의 $(1+\varepsilon)$-근사에 대한 확장 복잡도는 $\varepsilon$의 함수로 어떻게 행동하는가?
• RQ4 매칭 다면체로부터의 환원을 통해 TSP 다면체의 하한을 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 선형계획형식에 대해 지수적 하한이 존재하는 바, 완벽 매칭 다면체에 대해 다항수준의 정수계획형식(선형계획형식)이 존재하는가?

주요 결과

• 완전 $n$-노드 그래프에서의 완벽 매칭 다면체의 확장 복잡도는 $2^{\Omega(n)}$이며, 이는 다항수준의 선형형식으로 표현될 수 없음을 증명한다.
• TSP 다면체의 확장 복잡도 역시 $2^{\Omega(n)}$이며, 이는 이전의 하한 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$를 향상시킨다.
• 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, 매칭 다면체의 $(1+\varepsilon)$-근사에 대한 확장 복잡도는 최소 $2^{\Omega(\min\{1/\varepsilon, n\})}$이다.
• 이 결과는 비대칭 확장 형식의 경우에도 성립하며, 매칭 다면체에 대해 다항수준의 LP가 존재하지 않음을 배제한다.
• $\varepsilon \ll 1/\log n$인 경우, 지수의 상수 계수를 제외한 한에서 하한이 날카롭게 유지되며, 이 영역에서는 상한이 존재함을 보여준다.
• 매칭 다면체의 확장 복잡도에 대해 지수적 하한이 존재한다는 것은, 추가 변수가 있더라도 다항수준의 LP로 이를 표현할 수 없다는 것을 의미한다.