[논문 리뷰] The modelling and analysis of fractional-order control systems in discrete domain

Ivo Petráš, Ľ. Dorčák외 1명|ArXiv.org|2000. 06. 26.

Advanced Control Systems DesignEngineering참고 문헌 7인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 미분방정식을 이용하여 이산 도메인에서 분수계수 제어 시스템을 모델링하고 시뮬레이션하는 프레임워크를 제안한다. 분수계수 미적분학의 이산 근사에서 유도된 분수계수 차분방정식을 사용하며, Z변환과 짧은 메모리 원리를 통해 그룬바르트-레트니코프 및 리만-리우빌 정의를 적용함으로써 분수계수 제어기 및 시스템에 대한 일반적인 이산 전이 함수 모델을 개발한다. 안정적인 닫힘 루프 시스템을 포함한 수치 예제를 통해 기존 PID 제어에 비해 향상된 강인성과 유연성을 입증한다.

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controlled systems and fractional-order controllers in the discrete domain. The mathematical description by the fractional difference equations and properties of these systems are presented. A practical example for modelling the fractional-order control loop is shown and obtained results are discussed in conclusion.

연구 동기 및 목표

• 이산 도메인에서 분수계수 미분방정식을 사용하여 분수계수 제어 시스템을 체계적으로 모델링하는 방법을 개발하는 것.
• 임의의 실수계수 적분과 미분을 가진 일반화된 분수계수 $PI^\lambda D^\delta$ 제어기 구조를 도입하여 고전적 PID 제어를 확장하는 것.
• 분수계수 연산자의 이산 근사를 통해 분수계수 제어기의 실용적인 디지털 구현을 가능하게 하는 것.
• 이산 시간 시스템에서 분수계수 제어의 타당성과 이점을 수치 시뮬레이션 예제를 통해 입증하는 것.

제안 방법

• 분수계수 미적분학의 이산 근사를 위해 그룬바르트-레트니코프 및 리만-리우빌 정의를 사용한다.
• 이항 계수를 계산하기 위해 짧은 메모리 원리와 멱급수 전개(PSE)를 적용한다.
• 이산 분수계수 연산자 $\omega(z^{-1})$의 Z변환을 사용하여 이산 전이 함수를 유도한다. 여기서 $\omega(z^{-1}) = \frac{1 - z^{-1}}{T}$이다.
• 시스템 및 제어기 전이 함수의 역 Z변환을 통해 이산 분수계수 차분방정식을 구성한다.
• 이산 분수계수 시스템에서 보다 정확한 근사를 위해 트라페즈oidal(Tustin) 규칙을 대체 생성 함수로 사용한다.
• 효율적인 수치 구현을 위해 재귀적 방법을 사용하여 이항 계수를 계산한다: $c_j^{(\alpha)} = \left(1 - \frac{1 \pm \alpha}{j}\right) c_{j-1}^{(\alpha)}$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 분수계수 제어 시스템을 분수계수 차분방정식을 사용하여 이산 도메인에서 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 디지털 제어 시스템에서 분수계수 연산자를 구현하기 위해 적합한 이산 근사 방법은 무엇인가?
• RQ3 일반화된 $PI^\lambda D^\delta$ 제어기는 이산 시간 시스템에서 고전적 PID 제어에 비해 시스템 성능을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 닫힘 루프 구성에서 분수계수 적분과 미분은 시스템의 안정성과 일시적 응답에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이산 분수계수 시스템 모델은 분수계수 연산자의 Z변환에서 유도되며, 재귀적 차분방정식을 통해 시뮬레이션 가능하다.
• 분수계수 $PD^\delta$ 제어기($\delta = 1.286$, $T_d = 5.326$)는 닫힘 루프 시스템에서 안정성 측도 $S_t = 2.0$와 감쇠비 $\xi = 0.4$를 달성한다.
• 결과적으로 유도된 이산 차분방정식 (15)는 $w_k = 1$ for $k \geq 2$ 조건에서 닫힘 루프 응답을 정확하게 시뮬레이션하며 안정적인 수렴을 보인다.
• Z변환과 짧은 메모리 근사를 활용함으로써 제안된 방법은 분수계수 제어기의 강건한 디지털 구현을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 임의의 실수계수 적분과 미분을 가진 탄력적인 제어기 설계를 지원하여 고전적 PID를 초월한 시스템 튜닝 능력을 향상시킨다.