[논문 리뷰] The fractional - order controllers: Methods for their synthesis and application

Ivo Petráš|ArXiv.org|2000. 04. 11.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 210

한 줄 요약

이 논문은 분수형 제어계의 성능을 향상시키기 위해 분수형 제어기(예: PI^λD^δ)를 합성하기 위한 수정된 루트 로커스 방법을 제안한다. 정수형 동역학으로 근사하는 대신 비정수 차수 동역학에 직접 제어기를 설계하므로, 안정성, 감쇠 및 내성 면에서 더 우수한 성능을 달성한다. 시뮬레이션 결과는 정수형 PID 제어기보다 응답 속도가 빠르고 오버슈트가 감소한 것으로 나타났다.

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controllers. We outline mathematical description of fractional controllers and methods of their synthesis and application. Synthesis method is a modified root locus method for fractional-order systems and fractional-order controllers. In the next section we describe how to apply the fractional controller on control systems.

연구 동기 및 목표

• 제어기 설계 시 분수형 제어계를 정수형 모델로 근사하는 데서 기인하는 한계를 해결하기 위해.
• 분수형 제어계의 진정한 동역학과 일치하는 분수형 제어기(예: PI^λD^δ)를 체계적으로 합성하기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 비정수 차수 동역학을 갖는 시스템에서 제어 성능, 안정성 및 내성을 향상시키기 위해.
• 분수형 미분·적분 이론의 수치적 및 해석적 도구를 활용한 실용적인 분수형 제어기 설계 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 제어기 및 시스템 전달함수에 비정수 차수 미분 및 적분을 다룰 수 있도록 고전적 루트 로커스 방법을 분수형 제어계에 확장한다.
• 수치 계산을 위해 리만-리우빌 및 그룬발트 정의의 분수형 도함수를 사용하며, 계산 부담을 줄이기 위해 '단기 기억' 원리를 적용한다.
• 분수형 미분방정식의 해석적 해를 구하기 위해 분수형 도함수의 라플라스 변환과 미타그레플레르 함수를 활용한다.
• 복소 평면에서 해를 구하여 제어기 파rameter를 결정하기 위해 라플라스 변수의 분수거듭제곱을 포함하는 일반화된 특성방정식(14)을 유도한다.
• 그룬발트 공식에서 유도된 이항계수를 활용한 이산시간 제어 알고리즘을 적용하여 분수형 제어기를 수치적으로 구현한다.
• 분수형 제어기와 정수형 제어기를 비교한 단위계단 응답 시뮬레이션을 통해 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 루트 로커스 방법이 분수형 제어계에 대해 분수형 제어기를 효과적으로 설계하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ2 분수형 제어계에 직접 설계하는 것이 정수형 근사 기반의 제어기 설계보다 더 뛰어난 제어 성능을 제공하는가?
• RQ3 분수형 제어기(예: PI^λD^δ)는 표준 정수형 PID 제어기와 비교해 안정성 및 감쇠 성질을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 비정수 차수 미분 및 적분 차수는 시스템의 내성과 일시적 응답에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 '단기 기억' 원리와 이항계수 재귀식을 활용해 분수형 제어기의 수치적 구현을 효율적으로 수행할 수 있는가?

주요 결과

• K=20.5, T_d=5.79, δ=0.95로 설정된 분수형 PD^δ 제어기는 원래의 분수형 제어계에서 정수형 PD 제어기보다 열악한 일시적 응답을 보였다.
• 정수형 근사 모델에 기반해 설계된 정수형 PD 제어기는 실제 분수형 제어계에 적용했을 때 예상 성능을 달성하지 못했으며, 뚜렷한 오버슈트와 느린 수면 시간을 보였다.
• 분수형 제어기는 오버슈트를 감소시키고 시스템을 더 빨리 안정화시켜, 피드백 루프 시스템 내에서 향상된 동역학적 성질을 입증했다.
• 분수형 제어기를 사용함으로써 내성성이 향상되었으며, 시스템 및 제어기의 파라미터 변화에 덜 민감한 것으로 나타났다.
• 시뮬레이션 결과는 분수형 제어계를 정수형 모델로 근사하여 제어기 설계를 수행할 경우 성능이 부족하다는 점을 확인하였으며, 이는 직접적인 분수형 제어기 합성의 필요성을 입증한다.
• 제안된 방법은 원하는 안정성 및 감쇠 성질을 확보하기 위해 복소 평면에서 일반화된 특성방정식(14)을 풀어 제어기 파rameter(K, T_d, δ, T_i, λ)를 성공적으로 결정하였다.