[논문 리뷰] The reverse order law for Moore-Penrose inverses of operators on Hilbert C*-modules

Kamran Sharifi, Behnaz Ahmadi Bonakdar|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 25.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 C*-모듈러스 위의 유계 선형 자기수반 연산자에 대한 무어-펜로즈 역행렬에 대해 반대순서 법칙 $(TS)^{\dagger} = S^{\dagger}T^{\dagger}$ 가 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 규명한다. 주요 결과는 등식이 성립함과 동치인 조건으로 $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 와 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ 를 제시하며, 기존의 그레빌의 행렬 결과를 비가환 연산자 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

Suppose $T$ and $S$ are bounded adjointable operators between Hilbert C*-modules admitting bounded Moore-Penrose inverse operators. Some necessary and sufficient conditions are given for the reverse order law $(TS)^{ †} =S^{ †} T^{ †}$ to hold. In particular, we show that the equality holds if and only if $Ran(T^{\ast}TS) \subseteq Ran(S)$ and $Ran(SS^{\ast}T^{\ast}) \subseteq Ran(T^{\ast}),$ which was studied first by Greville [{\it SIAM Rev. 8 (1966) 518--521}] for matrices.

연구 동기 및 목표

• 유계 자기수반 연산자에 대한 힐버트 C*-모듈러스 위에서 그레빌의 행렬에 대한 반대순서 법칙을 일반화하기 위해.
• 비가환 설정인 힐버트 C*-모듈러스에서 $(TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger$ 가 성립하는 데 필요한 필수 조건과 충분 조건을 규명하기 위해.
• 힐버트 C*-모듈러스에서 정규직교보완이 없고 표준 힐버트 공간 성질이 성립하지 않는 점을 고려하여, 범위와 핵의 포함 조건을 통해 무어-펜로즈 역행렬을 특성화하기 위해.
• 문헌 [17] 에서 제기한 모듈러스 연산자에 대한 반대순서 법칙과 관련된 열린 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 힐버트 C*-모듈러스의 핵과 범위 성분으로의 정규직교 분해에 기반한 연산자의 행렬 표현을 사용한다.
• 무어-펜로즈 역행렬의 네 가지 정의 조건: $TXT=T$, $XTX=X$, $(TX)^*=TX$, $(XT)^*=XT$ 를 적용한다.
• 주어진 연산자가 닫힌 범위를 가지는 것과 유계 무어-펜로즈 역행렬이 존재하는 것이 동치임을 증명한 Xu와 Sheng의 결과를 활용한다.
• 연산자 조건을 $T = T_1 \oplus T_2$, $S = S_1 \oplus S_2$ 와 같이 분해함으로써 범위 및 핵의 포함 조건으로 변환한다. 여기서 $T_2, S_2$ 는 핵 성분을 나타낸다.
• 특히 $[T_1T_1^*, D^{-1}] = 0$ 와 $T_2T_2^*T_1 = 0$ 과 같은 교환자 항등식과 프로젝션을 활용하여 $T^\dagger S^\dagger$ 의 구조를 분석한다.
• 반대순서 법칙과 두 범위 포함 조건 사이의 동치성을 확립한다: $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 와 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 자기수반 연산자에 대해 힐버트 C*-모듈러스 위에서 반대순서 법칙 $(TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 표준 힐버트 공간 성질이 성립하지 않는 힐버트 C*-모듈러스 설정에서 그레빌의 행렬 결과를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 비가환 연산자 대수에서 두 연산자의 곱에 대한 무어-펜로즈 역행렬을 특성화하는 데 범위 및 핵의 포함 조건이 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 반대순서 법칙을 힐버트 C*-모듈러스 프레임워크에서 프로젝션과 교환자 관점으로 동치로 재구성할 수 있는가?
• RQ5 특히 정규직교 분해의 관점에서 힐버트 C*-모듈러스에서의 무어-펜로즈 역행렬 성질는 힐버트 공간에서의 성질와 어떻게 다를 수 있는가?

주요 결과

• 반대순서 법칙 $(TS)^\dagger = S^\dagger T^\dagger$ 는 $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 와 $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ 를 만족할 때이고 그 때에만 성립한다.
• 행렬 분해와 프로젝션 분석을 통해 반대순서 법칙과 두 중간 조건 — $(TS)^\dagger TS = S^\dagger T^\dagger TS$ 와 $TSS^\ast T^\dagger T = TSS^\ast$ — 사이의 동치성을 입증한다.
• $\operatorname{Ran}(T^*TS) \subseteq \operatorname{Ran}(S)$ 라는 조건은 $T^*TS$ 의 작용이 $S$ 의 범위 내에 존재함을 보장하며, 이는 곱의 역행렬이 정확히 인수분해되기 위해 필수적이다.
• $\operatorname{Ran}(SS^*T^*) \subseteq \operatorname{Ran}(T^*)$ 라는 조건은 $T$ 의 수반과 곱 $SS^*T^*$ 사이의 호환성을 확보하여 역행렬의 구조를 유지한다.
• 증명은 연산자를 범위와 핵 성분으로 분해하고, 그에 따라 유도된 행렬 블록을 분석함으로써 이루어지며, 특히 $T_2T_2^*T_1 = 0$ 이 범위 포함 조건과 동치임을 보여준다.
• 이 결과는 1966년 그레빌의 행렬 결과를 힐버트 C*-모듈러스로 일반화한 것으로, 비가환 연산자 설정에서 동일한 범위 포함 조건이 필요 및 충분 조건임을 확인한다.