[논문 리뷰] The volume of static black holes

William Ballik, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 07.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비퇴화된 정상 블랙홀과 우주론적 시공간 경계에 대해 유한하고 불변하는 네 차원 부피 $\pi_s$를 도입한다. 이는 시공간 내부의 공간적 격자 $s$가 경계에 도달하는 부피로 정의되며, $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$임을 보여주며, 여기서 $\lambda$는 경계의 광선 생성자에 沿한 애파라미터이다. 이로 인해 파리크 부피와 표면 장력 비율을 통해 새로운 국소적이고 불변적인 표면 장력 정의가 가능해진다.

ABSTRACT

The invariant four-volume $\mathcal{V}$ of a complete black hole (the volume of the spacetime at and interior to the horizon) diverges. However, if one considers the black hole set up by the gravitational collapse of an object, and integrates only a finite time to the future of the collapse, the resultant volume is well defined and finite. In this paper we examine non-degenerate stationary black holes (and cosmological horizons) and find that $\mathcal{V}_{s} \varpropto \ln(\lambda)$ where $s$ is any shell that terminates on the horizon, $\lambda$ is the affine generator of the horizon and the constant of proportionality is the Parikh volume of $s$ divided by the surface gravity. This provides an alternative local and invariant definition of the surface gravity of a stationary black hole.

연구 동기 및 목표

• 전체 네 차원 부피의 발산을 피하기 위해 정상 블랙홀에 대해 유한하고 불변하는 시공간 부피를 정의하는 것.
• 경계의 내재된 성질, 예를 들어 표면 장력과 같은 기하학적 양을 캡슐화하는 양을 확립하는 것.
• 경계에 끝나는 유한한 격자 위에서의 부피 적분을 통해 표면 장력을 국소적이고 불변적으로 특징짓는 것.
• 분석을 우주론적 경계로 확장하여, 블랙홀 경계와 유사한 부피 행동을 보여주는 것.

제안 방법

• 이벤트 경계 또는 우주론적 경계에 도달하는 공간적 격자 $s$를 정의한다.
• 시공간 부피 $\mathcal{V}_s$를 $s$와 경계에 둘러싸인 영역에 대해, 시공간의 불변 부피 요소를 사용하여 적분한다.
• 경계의 광선 생성자에 대한 애파라미터 $\lambda$를 사용하여 부피 증가를 매개변수화한다.
• 경계의 기하학성과 부피 요소의 행동에 기반하여, 큰 $\lambda$에 대해 점점 가까운 행동 $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$를 유도한다.
• 비례 상수를 $s$의 파리크 부피를 표면 장력 $\kappa$로 나눈 것으로 식별함으로써, $\kappa$의 새로운 불변 정의를 도출한다.
• 비퇴화된 정상 블랙홀과 우주론적 경계에 이 방법을 적용하여, 모든 케이스에서 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정상 블랙홀에 대해 전체 시공간 부피의 발산을 피하면서도, 유한하고 불변하는 네 차원 부피를 정의할 수 있는가?
• RQ2 경계에 끝나는 유한한 격자의 부피는 경계에 沿한 애파라미터에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 이 부피 척도는 표면 장력에 대한 새로운 국소적이고 불변적인 정의를 제공할 수 있는가?
• RQ4 우주론적 경계의 경우에도 블랙홀 경계와 동일한 부피 행동이 유지되는가?
• RQ5 부피-로그 스케일링에서 비례 상수의 정확한 기하학적 및 물리적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 경계에 끝나는 격자 $s$의 유한한 네 차원 부피 $\mathcal{V}_s$는 경계 생성자에 대한 애파라미터 $\lambda$에 대해 로그적으로 스케일링된다: $\mathcal{V}_s \propto \ln(\lambda)$.
• 부피 스케일링의 비례 상수는 $s$의 파리크 부피를 표면 장력 $\kappa$로 나눈 것으로 주어지며, 이는 $\kappa$의 새로운 불변 정의를 제공한다.
• 이 표면 장력 정의는 국소적이고 기하학적이며 $s$의 선택과 무관하므로, 강력한 불변 양이다.
• 결과는 비퇴화된 정상 블랙홀과 우주론적 경계 모두에 대해 성립하며, 보편적인 스케일링 행동을 나타낸다.
• 유한한 부피 구성은 전체 시공간 네 차원 부피의 발산을 해결하면서도 경계에 대한 물리적 정보를 유지한다.