[논문 리뷰] Time Complexity of Constraint Satisfaction via Universal Algebra

Peter Jönsson, Victor Lagerkvist외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 19.

Constraint Satisfaction and Optimization참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대수적 CSP 이분법 추측과 지수적 시간 가정(ETH) 하에, 유한 도메인 제약 만족 문제(CSP) 중 NP-완전인 문제들은 어떤 경우에도 지수적 시간 이하의 알고리즘을 가질 수 없음을 증명한다. 각 유한 도메인 $D$에 대해, $D$ 위에서 정의된 보편적인 관계 $S_D$를 특정하여, CSP($\{S_D\}$)가 $D$ 위에서의 모든 NP-완전 CSP 문제의 시간 복잡도에 대해 날카로운 하한을 제공함을 보이며, 이 하한은 $|D|$가 증가함에 따라 0에 수렴함을 보여, 임의의 $c>1$에 대해 $O(c^n)$ 시간 내에 해결 가능한 NP-완전 CSP가 존재함을 시사한다.

ABSTRACT

The exponential-time hypothesis (ETH) states that 3-SAT is not solvable in subexponential time, i.e. not solvable in O(c^n) time for arbitrary c > 1, where n denotes the number of variables. Problems like k-SAT can be viewed as special cases of the constraint satisfaction problem (CSP), which is the problem of determining whether a set of constraints is satisfiable. In this paper we study thef worst-case time complexity of NP-complete CSPs. Our main interest is in the CSP problem parameterized by a constraint language Gamma (CSP(Gamma)), and how the choice of Gamma affects the time complexity. It is believed that CSP(Gamma) is either tractable or NP-complete, and the algebraic CSP dichotomy conjecture gives a sharp delineation of these two classes based on algebraic properties of constraint languages. Under this conjecture and the ETH, we first rule out the existence of subexponential algorithms for finite-domain NP-complete CSP(Gamma) problems. This result also extends to certain infinite-domain CSPs and structurally restricted CSP(Gamma) problems. We then begin a study of the complexity of NP-complete CSPs where one is allowed to arbitrarily restrict the values of individual variables, which is a very well-studied subclass of CSPs. For such CSPs with finite domain D, we identify a relation SD such that (1) CSP({SD}) is NP-complete and (2) if CSP(Gamma) over D is NP-complete and solvable in O(c^n) time, then CSP({SD}) is solvable in O(c^n) time, too. Hence, the time complexity of CSP({SD}) is a lower bound for all CSPs of this particular kind. We also prove that the complexity of CSP({SD}) is decreasing when |D| increases, unless the ETH is false. This implies, for instance, that for every c>1 there exists a finite-domain Gamma such that CSP(Gamma) is NP-complete and solvable in O(c^n) time.

연구 동기 및 목표

• 지수적 시간 가정(ETH) 하에 NP-완전 제약 만족 문제(CSP)의 최악의 경우 시간 복잡도를 규명하는 것.
• 제약 언어 $\Gamma$ 의 선택이 CSP($\Gamma$)의 시간 복잡도에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 유한 도메인 $D$ 위에서 모든 NP-완전 CSP의 시간 복잡도에 대한 하한으로서 기능하는 보편적 관계 $S_D$ 를 규명하는 것.
• 도메인 크기 $|D|$ 가 증가함에 따라 시간 복잡도 임계값 $\sf T(\{S_D\})$ 의 행동을 탐구하는 것.

제안 방법

• 다양한 다항식 대칭 구조를 기반으로 CSP를 다룰 수 있는 다항식 대수 구조를 활용하여, 대수적 CSP 이분법 추측을 적용해 CSP를 다항식 시간 가능 또는 NP-완전으로 분류하는 것.
• 지수적 시간 가정(ETH)을 적용하여, 유한 도메인 NP-완전 CSP 문제들에 대해 지수적 시간 이하의 알고리즘이 존재하지 않음을 규명하는 것.
• 도메인 $D$ 위에서 정의된 관계 $S_D$ 를 도입하여, $D$ 위의 모든 CSP 문제에 대해 하한이 되는 표준화된 NP-완전 CSP 인스턴스를 구성하는 것.
• 변수 빈도와 고정 값 전파 기반의 가지치기 전략을 적용한, CSP($\{S_D\}$)에 대한 재귀적 백트래킹 알고리즘을 개발하는 것.
• 재귀 관계를 통한 시간 복잡도 분석: $T(n) = 3T(n - \lfloor \frac{k(k-1)(k-2)}{k^2} \rfloor) + \text{poly}(||I||)$, 여기서 $k = |D|$.
• 재귀 관계의 점근적 분석을 통해 지수항 $\frac{k^2}{k(k-1)(k-2)}$ 가 $k \to \infty$ 일 때 0에 수렴함을 보이며, 이는 $\inf \sf T(\{S_D\}} = 0$ 임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 CSP 이분법 추측과 ETH 하에, 어떤 유한 도메인 NP-완전 CSP도 지수적 시간 이하의 알고리즘을 가질 수 있는가?
• RQ2 모든 유한 도메인 $D$ 에 대해, CSP($\{S_D\}$)가 NP-완전이면서 $D$ 위의 모든 NP-완전 CSP의 하한이 되는 보편적 관계 $S_D$ 가 존재하는가?
• RQ3 도메인 크기 $|D|$ 가 증가함에 따라 시간 복잡도 임계값 $\sf T(\{S_D\})$ 는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 모든 유한 도메인 $D$ 에 대해, 임의의 $c>1$ 에 대해 $O(c^n)$ 시간 내에 해결 가능한 CSP가 존재함을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 대수적 CSP 이분법 추측과 ETH 하에, 어떤 유한 도메인 NP-완전 CSP도 지수적 시간 이하의 알고리즘을 가질 수 없다.
• 모든 유한 도메인 $D$ 에 대해, CSP($\{S_D\}$)는 NP-완전이면서 $D$ 위의 모든 NP-완전 CSP 문제의 시간 복잡도에 대한 하한이 된다.
• 시간 복잡도 임계값 $\sf T(\{S_D\})$ 는 $|D|$ 가 증가함에 따라 감소하며, $\inf \{ \sf T(\{S_D\}) \mid |D| \geq 2 \} = 0$ 이다.
• 모든 $c > 1$ 에 대해, $D$ 위의 유한 도메인 제약 언어 $\Gamma$ 가 존재하여, CSP($\Gamma$)는 NP-완전이면서 $O(c^n)$ 시간 내에 해결 가능하다.
• CSP($\{S_D\}$)에 대한 재귀 알고리즘은 $O(3^{n \cdot \frac{k^2}{k(k-1)(k-2)}} \cdot \text{poly}(||I||))$ 의 시간 복잡도를 달성하며, 이 지수항은 $k = |D| \to \infty$ 일 때 0에 수렴한다.
• 결과적으로, 어떤 유한 도메인에 대해도 NP-완전 CSP에 대해 지수적 시간 이하의 알고리즘이 존재한다면, ETH와 모순된다.