[논문 리뷰] Time evolution of 1D gapless models from a domain-wall initial state: SLE continued?

Pasquale Calabrese, Christian Hagendorf외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 15.

Quantum many-body systems참고 문헌 77인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 경계 conformal field theory와 허수시간 경로적분을 사용하여 도메인 워크 상태에서 초기화된 1차원 금속이 없는 양자 시스템의 시간 진화를 연구한다. 상관 함수와 엔트로피의 보편적 스케일링 행동을 유도하며, 도메인 워크로 인한 엔트로피의 보편적 상수 이격을 드러내고, 일반적인 $\kappa$에 대해 확률적 Loewner 진화(SLE)와의 잠재적 연결성을 탐색한다.

ABSTRACT

We study the time evolution of quantum one-dimensional gapless systems evolving from initial states with a domain-wall. We generalize the path-integral imaginary time approach that together with boundary conformal field theory allows to derive the time and space dependence of general correlation functions. The latter are explicitly obtained for the Ising universality class, and the typical behavior of one- and two-point functions is derived for the general case. Possible connections with the stochastic Loewner evolution are discussed and explicit results for one-point time dependent averages are obtained for generic κfor boundary conditions corresponding to SLE. We use this set of results to predict the time evolution of the entanglement entropy and obtain the universal constant shift due to the presence of a domain wall in the initial state.

연구 동기 및 목표

• 도메인 워크 상태에서 초기화된 1D 금속이 없는 양자 시스템의 비평형 역학을 이해하기 위해.
• 경계 conformal field theory(CFT)를 사용한 허수시간 경로적분 접근법을 비정역학적 대칭이 없는 초기 상태로 일반화하기 위해.
• 이러한 시스템에서 상관 함수와 엔트로피의 보편적 스케일링 행동을 도출하기 위해.
• 시간 진화와 확률적 Loewner 진화(SLE) 사이의 잠재적 연결성을 탐색하기 위해, 특히 일반적인 $\kappa$에 대해.
• 도메인 워크 초기 조건으로 인한 엔트로피의 보편적 상수 이격을 예측하기 위해.

제안 방법

• 실시간 양자 진화를 1+1차원 슬립 기하학에서의 고전적 통계역학 문제로 매핑하기 위해 허수시간 경로적분 형식을 사용한다.
• 비틀림 상태에서의 시스템 행동 분석을 위해 경계 conformal field theory(CFT)를 적용하며, 초기 도메인 워크 상태를 경계 조건으로 간주한다.
• 시간 의존 상관 함수를 추출하기 위해 상반평면에서 스트립 기하학으로의 해석적 계속을 활용한다.
• 기존의 CFT 결과를 사용하여 이징 보편성 계열에서의 한 개 및 두 개의 점 함수에 대한 정확한 표현을 유도한다.
• 스케일링 추론과 부피 내 4점 함수 데이터를 활용하여 일반적인 금속이 없는 1D 시스템으로 결과를 일반화한다.
• 임의의 $\kappa$에 대해 SLE 경계 조건 하에서의 한 점 함수 행동을 분석하며, 확률 기하 모델과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 금속이 없는 시스템이 도메인 워크 초기 상태에서 준비될 경우 상관 함수는 시간에 따라 어떻게 진화하는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 한 개 및 두 개의 점 함수의 보편적 스케일링 행동은 무엇이며, 원인론적 관계와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 CFT 프레임워크에서 엔트로피의 시간 진화를 예측할 수 있으며, 도메인 워크의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이러한 양자 시스템의 시간 진화와 확률적 Loewner 진화(SLE) 사이의 연결성은 무엇인가?
• RQ5 결과는 이징 모델을 초월하여 다른 금속이 없는 1D 시스템으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 두 점 함수가 원인론적으로 연결된 경우, 국소 연산자의 두 점 함수는 스케일링 차원과 효과적 역온도 $\beta_{\rm eff} = 4\tau_0$에 의해 결정되는 감쇠율을 가진 지수적으로 감쇠한다.
• 이징 모델의 경우, 상관 함수 $\sigma(1)\varepsilon(2)$는 원인론적 시야 효과를 보이며, $2t > |r_1 - r_2|$ 이후에야 상관 형성이 시작된다.
• 임의의 $\kappa$에 대해 SLE 경계 조건 하에서의 한 점 함수의 시간 진화가 유도되었으며, SLE 매개변수에 명시적인 의존성이 드러났다.
• 엔트로피는 도메인 워크 초기 조건으로 인해 보편적인 상수 이격을 보이며, 이는 CFT 분석을 통해 예측된다.
• 상관 함수의 점 渐진적 행동은 시스템이 순수 상태에 머무르는 동안에도 효과적 역온도 $\beta_{\rm eff} = 4\tau_0$를 가진 열적 상태와 일치한다.
• 일반적인 연산자에 대해 두 점 함수의 감쇠는 부등식 $x_1 + x_2 - 2x_b > 0$에 의해 지배되며, 이는 큰 시간에서의 지수적 감쇠를 보장한다.