[논문 리뷰] Topological obstructions to implementing controlled unknown unitaries

Zuzana Gavorová, Matan Seidel외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $U$가 알려져 있지 않은 유니터리 연산일 때, 제어 큐비트가 $|1 angle$일 경우에만 $U$를 적용하는 제어된 버전을 $U$ 또는 $U^/dagger$에 대한 유한한 수의 쿼리로 구현하는 것이 본질적으로 불가능하다는 것을 증명한다. 이는 후행 선택(postselection)이 가능하더라도, 위상학적 장벽으로 인해 성립하지 않는다. 핵심 결과는 Borsuk-Ulam 정리와 유사한 위상학적 추론을 사용하여 이전의 불가능성 결과를 일반화한 것으로, 이러한 제어가 가능한 경우는 $U^m$의 지수 $m$이 유니터리의 차원 $d$의 배수일 때에만 가능하다는 것을 보여준다. 이 결과는 모든 $U \in U(d)$에 대해 최악의 경우 조건을 만족할 때 성립하지만, 최악의 경우 조건이나 측정 유형을 완화하면 성립하지 않는다.

ABSTRACT

Is a quantum algorithm capable of implementing an if-clause? Given a black-box subroutine, a $d$-dimensional unitary $U\in U(d)$, a quantum if-clause would correspond to applying it to an input qudit if and only if the value of a control qubit is $1$. It was previously shown by Thompson et al. and Araujo et al. that implementations using single access to the oracle $U$ are impossible. Our main result is a strong generalization of this impossibility result: we prove that there is no unitary oracle algorithm implementing $control_\phi(U)=\left|0 ight>\!\!\left \!\!\left<1 ight|\otimes U$, for some $U$-dependent phase $\phi(U)$, even if allowed any finite number of calls to $U$ and $U^\dagger$, and even if required to only approximate the desired operator $control_\phi(U)$. Even further, there is no such \emph{postselection} oracle algorithm, i.e. a unitary oracle algorithm followed by a binary success/fail measurement, that reports success and implements $control_\phi(U)$ with a nonzero probability for each $U\in U(d)$. Our proof relies on topological arguments which can be viewed as a modification of the Borsuk-Ulam theorem. Combining the topological arguments with the algorithm of Dong et al. in fact leads to an interesting dichotomy: implementing $control_\phi(U^m)$ in our model is possible if and only if the integer $m$ is a multiple of the oracle's dimension $d$. Our impossibility no longer holds if the model is relaxed, either by dropping the worst-case requirement that the algorithm works for all $U\in U(d)$, or, remarkably, by allowing measurements more general than a binary postselection measurement. We observe that for both relaxations, inefficient algorithms exist, and it remains open whether efficient ones do.

연구 동기 및 목표

• 모르는 유니터리 연산 $U$에 대해 오ракル 액세스만을 사용하여 제어-만족 조건을 구현할 수 있는 양자 알고리즘이 존재하는지 여부를 규명하는 것.
• 모르는 $U \in U(d)$에 대해 $control_\phi(U) = |0\rangle\!\langle 0| \otimes I + |1\rangle\!\langle 1| \otimes U$를 구현하는 데의 제약 조건을 조사하는 것, 즉 근사적으로라도.
• 후행 선택 또는 조건의 완화가 불가능성을 피할 수 있는지 탐색하는 것.
• 이분화를 설정하는 것: $control_\phi(U^m)$은 $m$이 $U$의 차원 $d$의 배수일 때에만 구현 가능하다.

제안 방법

• Borsuk-Ulam 정리에서 영감을 얻은 위상학적 추론을 사용하여, 유니터리 진동 맵의 연속성과 전반적 구조를 분석한다.
• 모든 $U \in U(d)$의 공간을 위상다양체로 간주하고, $control_\phi(U)$를 실현하는 연속적 사상이 위상적 불변성을 위반할 수 있음을 보여준다.
• 유니터리 오라클 알고리즘의 행동을 $U$와 $U^\dagger$에 대한 유한한 쿼리, 이중 측정을 통한 후행 선택을 포함하여 분석한다.
• Dong 등이 제시한 알고리즘 프레임워크와 위상학적 제약 조건을 융합하여, 실현 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 위상학적 모순 없이 일관되게 실현될 수 없기 때문에, 단계 $\phi(U)$가 $U$에 따라 의존해야 하며, 이는 불가능하다는 것을 보여준다.
• 정확한 실현과 근사적 실현을 모두 고려하여, 근사화 조건 하에서도 불가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모르는 유니터리 연산 $U$에 대해, $U$와 $U^\dagger$에 대한 유한한 수의 쿼리만을 사용하여 제어-만족 조건을 구현할 수 있는가?
• RQ2 모든 $U \in U(d)$에 대해 비영확률으로 성공하는 후행 선택 오라클 알고리즘을 통해 $control_\phi(U)$를 구현할 수 있는가?
• RQ3 유니터리의 차원 $d$가 $control_\phi(U^m)$의 실현 가능성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 최악의 경우 조건을 완화(일부 $U$에 대해 실패를 허용)하면 실현 가능성이 열리는가?
• RQ5 이중 후행 선택을 초월한 더 일반적인 측정 전략이 위상학적 장벽을 우회할 수 있는가?

주요 결과

• 위상학적 장벽으로 인해, 알려진 $U \in U(d)$에 대해 $control_\phi(U)$를 유한한 쿼리로 실현할 수 있는 유니터리 오라클 알고리즘이 존재하지 않는다. 이는 근사적으로도 마찬가지다.
• 모든 $U \in U(d)$에 대해 비영확률로 성공하는 후행 선택 오라클 알고리즘도 존재하지 않으며, 이는 유한한 쿼리 수가 주어져도 마찬가지다.
• 이 불가능성 결과는 고정된 단계가 아닌, $U$에 의존하는 단계 $\phi(U)$에 대해서도 성립한다.
• 이분화가 나타나며, $control_\phi(U^m)$은 $m$이 $U$의 차원 $d$의 배수일 때에만 실현 가능하다.
• 최악의 경우 조건을 완화(일부 $U$에 대해 실패를 허용)하거나 더 일반적인 측정 전략을 허용하면 비효율적인 알고리즘이 가능해지지만, 효율적인 알고리즘은 여전히 열려 있다.
• 위상학적 장벽은 일반화된 Borsuk-Ulam 추론에 뿌리를 두며, $U(d)$에서 제어된 연산 공간으로의 연속적 사상이 전역적으로 존재할 수 없음을 보여준다.