[논문 리뷰] Transition Semigroups of Banach Space Valued Ornstein-Uhlenbeck Processes

Beniamin Gołdys, Jan van Neerven|ArXiv.org|2006. 06. 30.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 30인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에 값이 있는 옴스타인-울렌벡 과정과 관련된 전이 준군에 대한 강한 펠러 성질, 스펙트럼 간격, 해석성 등의 핵심 성질에 대해 명시적인 조건을 수립한다. 이러한 성질들은 캐머런-마틴 공간 $H$에 제한된 $C_0$-준군 $\mathbf{S}$의 행동과 연결되며, $\mathbf{S}_H$-해석성이 $L^2(E, \mu_\infty)$에서 준군의 해석성에 대해 필요이고 충분하다는 것을 보여준다. 유사한 특성은 $H$가 $\mathbf{S}$-불변일 경우 강한 펠러 성질 및 스펙트럼 간격 성질에 대해 적용된다. 본 결과는 산산이 흩어지는 드리프트를 가진 확률적 편미분방정식에 대한 기존 기준을 일반화하고 정밀화한다.

ABSTRACT

We investigate the transition semigroup of the solution to a stochastic evolution equation $dX(t) = AX(t)dt +dW_H(t)$, $t\ge 0,$ where $A$ is the generator of a $C_0$-semigroup $S$ on a separable real Banach space $E$ and $W_H$ is cylindrical white noise with values in a real Hilbert space $H$ which is continuously embedded in $E$. Various properties of these semigroups, such as the strong Feller property, the spectral gap property, and analyticity, are characterized in terms of the behaviour of $S$ in $H$. In particular we investigate the interplay between analyticity of the transition semigroup, $S$-invariance of $H$, and analyticity of the restricted semigroup $S_H$.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에 값이 있는 옴스타인-울렌벡 과정에 대한 전이 준군의 강한 펠러 성질, 스펙트럼 간격, 해석성을 특성화하기 위해.
• 이러한 성질에 대한 필요 및 충분 조건을 캐머런-마틴 공간 $H$에 제한된 준군 $\mathbf{S}_H$의 언어로 수립하기 위해.
• 산산이 흩어지는 드리프트를 가진 확률적 편미분방정식에 대한 기존 기준을 확장하기 위해, 준군 성질과 $\mathbf{S}$에 대한 $H$의 불변성 및 해석성 간의 연관성을 연결하기 위해.
• 특히 힐베르트 공간이 아닌 일반적인 분리 가능 바나흐 공간 $E$에 대해 전이 준군을 분석하는 통합적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유체 $W_H$를 갖는 힐베르트 공간 $H \subset E$ 위에서 정의된 전이 준군 $\mathbf{P} = \{P(t)\}_{t \geq 0}$를 분석한다. 여기서 $P(t)\phi(x) = \mathbb{E}[\phi(S(t)x + \int_0^t S(t-s)\,dW_H(s))]$이다.
• 바나흐 공간 $E$에서의 $C_0$-준군 $\mathbf{S}$, 그가 캐머런-마틴 공간 $H$에 제한된 형태인 $\mathbf{S}_H$, 그리고 유한시간 분포 $\mu_t$와 관련된 재생 핵 힐베르트 공간 $H_t$ 간의 상호작용을 조사한다.
• 리아푸노프 방정식 $AX + XA^* = -Q$를 사용하여 $Q$-대칭성과 $H$의 $\mathbf{S}$-불변성을 특성화하며, $A$의 스펙트럼 성질이 $H$-불변성과 어떻게 연결되는지 분석한다.
• 보간 이론과 BIP(양의 영역에서 유계 해석성) 성질을 적용하여 $\mathbf{S}_H$가 해석적이게 되는 조건을 규명한다.
• $H$가 $\mathbf{S}$-불변일 경우, $\mathbf{P}$가 $L^2(E, \mu_\infty)$에서 해석적임은 $\mathbf{S}_H$가 $H$에서 해석적임과 동치임을 증명한다.
• 강한 노름 위상에서의 연속성 없이도 $\mathbf{P}$의 $C_0$-준군 성격을 연구하기 위해 $C_b(E)$ 위의 혼합 위상 $\tau_{\text{mixed}}$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 공간에 값이 있는 옴스타인-울렌벡 과정의 전이 준군이 강한 펠러 성질을 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 옴스타인-울렌벡 준군의 생성자에서 $L^2(E, \mu_\infty)$에 스펙트럼 간격이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 전이 준군 $\mathbf{P}$의 해석성과 캐머런-마틴 공간 $H$에서 제한된 준군 $\mathbf{S}_H$의 해석성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 $\mathbf{S}$-불변성의 $H$가 전이 준군의 스펙트럼 및 정규성 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 일반적인 바나흐 공간에서 정적 측도 $\mu_\infty$의 존재성과 준군 공식 $P(t)\phi(x) = \int_E \phi(S(t)x + y)\,d\mu_t(y)$의 타당성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 조건이 $H$가 $\mathbf{S}$-불변일 경우, 옴스타인-울렌벡 준군 $\mathbf{P}$가 $L^2(E, \mu_\infty)$에서 해석적임은 $\mathbf{S}_H$가 $H$에서 해석적임과 동치이다.
• 강한 펠러 성질이 성립하는 것은 $\mathbf{S}_H$가 해석적이며, $S(t) \circ i_H$의 힐베르트-슈미트 노름에 대해 특정 감쇠 조건을 만족할 때에 한하여 성립한다.
• $H$가 $\mathbf{S}$-불변일 경우, $\mathbf{P}$의 생성자에서 $L^2(E, \mu_\infty)$에 스펙트럼 간격이 존재하는 것은 $\mu_\infty$와 관련된 재생 핵 힐베르트 공간 $H_\infty$에서 $A$의 스펙트럼 간격과 동치이다.
• $E = L^p(\Omega)$이고 $p \in [2, \infty)$이며 $H = H_0^\alpha(\Omega)$일 경우, $\alpha > \frac{d}{4} - \frac{1}{2}$ 이고 적절한 소볼레프 포함 조건을 만족할 경우, 준군 $\mathbf{P}$는 $L^2(E, \mu_\infty)$에서 해석적이다.
• $\int_0^\infty \|A^{-\beta/2} S(t)\|_{\mathscr{L}_2(L^2(\Omega))}^2 dt < \infty$ 조건은 가설 (H$\mu_\infty$)를 함의하며, 이는 $L^2(E, \mu_\infty)$에서 $\mathbf{P}$의 해석성에 충분하다.
• $E = L^2(\Omega)$이고 $H = H_0^\beta(\Omega)$이며 $\beta > \frac{d}{4} - \frac{1}{2}$일 경우, 준군 $\mathbf{S}_H$는 $H$에서 해석적이며 수축적임을 보여주며, 이는 $\mathbf{P}$의 해석성을 보장한다.