[논문 리뷰] Transversal homotopy theory

Jonathan Woolf|ArXiv.org|2009. 10. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics참고 문헌 11인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 표준 호모토피 이론에서 손실되는 분할과의 위상적 상호작용을 유지하기 위해, 각 분할에 대해 횡단하는 맵으로만 국한된 호모토피를 고려하여 윌리엄슨 분할 다변량에 대한 횡단 호모토피 이론을 개발한다. 주요 기여는 $k$-중으로 단조적인 $n$-군oids를 카테고리적으로 모델링하는 횡단 호모토피 모노이드와 군oids를 구성한 것으로, 폰트랴긴–투옴 건축을 통해 프레임된 테이글로 기하학적 해석이 가능하다.

ABSTRACT

Implementing an idea due to John Baez and James Dolan we define new invariants of Whitney stratified manifolds by considering the homotopy theory of smooth transversal maps. To each Whitney stratified manifold we assign transversal homotopy monoids, one for each natural number. The assignment is functorial for a natural class of maps which we call stratified normal submersions. When the stratification is trivial the transversal homotopy monoids are isomorphic to the usual homotopy groups. We compute some simple examples and explore the elementary properties of these invariants. We also assign `higher invariants', the transversal homotopy categories, to each Whitney stratified manifold. These have a rich structure; they are rigid monoidal categories for n>1 and ribbon categories for n>2. As an example we show that the transversal homotopy categories of a sphere, stratified by a point and its complement, are equivalent to categories of framed tangles.

연구 동기 및 목표

• 표준 호모토피 이론에서의 근사화 대신 횡단성 조건을 만족시키는 맵으로 제한함으로써 분할을 고려하는 윌리엄슨 분할 다변량에 대한 호모토피 이론을 수립하기 위해.
• 분할과의 횡단 교차 정보를 유지하는 횡단 설정으로 고전적 호모토피 불변량인 호모토피 군과 기본 군oids를 일반화하기 위해.
• 높은 카테고리적 구조, 예를 들어 $k$-중으로 단조적인 $n$-군oids를 모델링하는 횡단 호모토피 모노이드와 군oids를 구성하기 위해.
• 폰트랴긴–투옴 건축을 통해 이러한 불변량의 기하학적 실현을 제공하고, 횡단 호모토피류를 프레임된 테이글로 식별하기 위해.
• 프레임된 부분다변량에 대한 붕괴 맵이 횡단 맵을 통한 호모토피에 대해 잘 정의되어 있음을 보여주어 구성의 일관성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 모든 분할에 대해 횡단하는 맵 $[0,1]^n \to X$를 사용하여, 표본화된 윌리엄슨 분할 다변량에서 도우말 단위군으로부터의 함자인 횡단 호모토피 모노이드 $\psi_n(X)$를 정의한다.
• 합성에 대해 횡단성이 유지되도록 하기 위해, 표본화된 윌리엄슨 분할 다변량과 분할 정규 부분사상의 범주 $\mathbf{Whit}_\star$를 도입한다.
• 스태디어, 톰 공간 등 기존의 위상수학적 구성의 피브라션 대체물(확장된 형태)을 구성하여, 이들이 $\mathbf{Whit}_\star$에 속하도록 하여 횡단성을 유지한다.
• 프레임된 codimension $k$ 부분다변량 $W$에 대해, 폰트랴긴–투옴 건축을 사용하여 붕괴 맵 $\kappa_W: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$를 정의하며, 횡단성과 프레임 호환성을 보장한다.
• 붕괴 맵의 유일성을 횡단 맵을 통한 호모토피에 대해 보장하기 위해 붕괴 맵의 스무딩을 구성하고, 호모토피 불변성을 이용한다.
• 임의의 횡단 맵 $f: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$가 점 $p$의 주변을 고정하는 횡단 맵을 통한 호모토피로 $f^{-1}(p)$에 대한 붕괴 맵으로 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 공간에 대한 호모토피 이론을 개발할 수 있는가? 이 경우 분할과의 횡단 교차 정보를 유지하면서, 취소가 허용되는 표준 이론이 아닌가?
• RQ2 윌리엄슨 분할 다변량의 맥락에서 횡단 호모토피 모노이드 $\psi_n(X)$는 고전적 호모토피 군 $\pi_n(X)$를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 점과 그 여부로 분할된 구 $\mathbb{S}^k$에 대해 $\psi_n(\mathbb{S}^k)$의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ4 높은 카테고리적 구조, 예를 들어 $k$-중으로 단조적인 $n$-카테고리를 모델링할 수 있는 횡단 호모토피 군oids $\Psi_{n,n+1}(X)$를 구성할 수 있는가?
• RQ5 프레임된 부분다변량에 대한 붕괴 맵이 횡단 맵을 통한 호모토피에 대해 잘 정의되어 있는가? 이는 불변량의 일관성을 보장한다.

주요 결과

• 횡단 호모토피 모노이드 $\psi_n(X)$는 $\mathbf{Whit}_\star$에서 도우말 단위군의 범주로의 함자이며, $n > 0$일 때 고전적 $\pi_n(X)$를 일반화한다.
• 점과 그 여부로 분할된 구 $\mathbb{S}^k$에 대해 $\psi_n(\mathbb{S}^k)$는 $\mathbb{R}^n$ 내에 존재하는 codimension $k$ 프레임된 부분다변량의 환경 동치류 집합과 동형이다. 즉, 프레임된 테이글이다.
• 폰트랴긴–투옴 건축은 $\psi_n(\mathbb{S}^k)$를 $n$차원에서의 프레임된 테이글 범주로 기하학적으로 모델링하며, 횡단 호모토피와 기하학적 위상수학 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 프레임된 부분다변량에 대한 붕괴 맵은 횡단 맵을 통한 호모토피에 대해 유일하므로, $\psi_n(X)$의 구성이 잘 정의되고 일관됨을 보장한다.
• 임의의 횡단 맵 $f: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$는 $f^{-1}(p)$에 대한 붕괴 맵으로 횡단 맵을 통한 호모토피로 변환 가능하며, 이는 모든 횡단 맵이 이러한 기하학적 자료로 표현 가능함을 보여준다.
• 횡단 호모토피 군oids $\Psi_{n,n+1}(X)$는 기본 군oids를 일반화하며, $X = \mathbb{S}^k$일 때 $k$-중으로 단조적인 $n$-카테고리를 모델링한다. 이는 이 맥락에서 테일글 가설을 지지한다.