[논문 리뷰] Turing-equivalent automata using a fixed-size quantum memory

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정 크기의 양자 메모리를 사용하여 튜링 등가성을 달성하는 두 가지 새로운 양자 계산 모델—약한 공개 양자 상호작용 증명 체계(qAM)와 양자 교호적 튜링 기계(qATM)—를 소개한다. 고정 크기의 양자 레지스터를 활용함으로써, 두 모델은 상수 공간에서 임의의 튜링 인식 가능 언어를 인식할 수 있으며, 이는 고전적 공간에 제한된 모델을 뛰어넘고, 양자 양자 얽힘의 존재가 계산 능력에서 지수적 공간 절약을 가능하게 한다고 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new public quantum interactive proof system and the first quantum alternating Turing machine: qAM proof system and qATM, respectively. Both are obtained from their classical counterparts (Arthur-Merlin proof system and alternating Turing machine, respectively,) by augmenting them with a fixed-size quantum register. We focus on space-bounded computation, and obtain the following surprising results: Both of them with constant-space are Turing-equivalent. More specifically, we show that for any Turing-recognizable language, there exists a constant-space weak-qAM system, (the nonmembers do not need to be rejected with high probability), and we show that any Turing-recognizable language can be recognized by a constant-space qATM even with one-way input head. For strong proof systems, where the nonmembers must be rejected with high probability, we show that the known space-bounded classical private protocols can also be simulated by our public qAM system with the same space bound. Besides, we introduce a strong version of qATM: The qATM that must halt in every computation path. Then, we show that strong qATMs (similar to private ATMs) can simulate deterministic space with exponentially less space. This leads to shifting the deterministic space hierarchy exactly by one-level. The method behind the main results is a new public protocol cleverly using its fixed-size quantum register. Interestingly, the quantum part of this public protocol cannot be simulated by any space-bounded classical protocol in some cases.

연구 동기 및 목표

• 고정 크기의 양자 레지스터를 통합하여 고전적 상호작용 증명 체계와 교호적 튜링 기계를 확장하여 새로운 계산 능력을 달성하고자 한다.
• 공간에 제한된 양자 모델이 상수 크기의 양자 메모리로도 튜링 완전성을 달성할 수 있는지 조사하고자 한다.
• 고정된 레지스터 내에서의 양자 얽힘은 고전적 공간에 제한된 모델을 뛰어넘어 보편 계산을 가능하게 한다는 것을 입증하고자 한다.
• 공개 검증과 완전한 완전성 조건을 갖춘 고전적 교호적 성질의 양자 버전을 수립하고자 한다.
• 양자 모델이 고전적 비공개 모델과 유사하게 결정적 공간 계층을 한 단계 이동시킬 수 있는지 확인하고자 한다.

제안 방법

• 고전적 아서-머링 증명 체계와 교호적 튜링 기계에 고정 크기의 양자 레지스터를 통합하여 공개 qAM 및 qATM 모델를 구성한다.
• 양자 중첩과 간섭을 활용하여 무한한 계산을 상수 크기의 양자 메모리로 시뮬레이션하는 새로운 공개 양자 프로토콜을 적용한다.
• 비정지 양자 상태 분석을 위해 밀도 행렬과 행렬 진화를 사용하여 공간에 제한된 양자 기계의 정지 행동을 분석할 수 있도록 한다.
• 약한 qAM 시스템의 오류 범위를 줄이기 위해 확률 증폭 기법을 적용하여 비원소에 대한 고정밀 거부를 보장한다.
• 모든 계산 경로에서 정지가 보장되는 강력한 qATM 버전을 도입하여 결정적 공간 계산을 지수적 공간 절약으로 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• 워터스의 시간에 제한된 결과를 혼합 상태 양자 튜링 기계로 확장하기 위해 혼합 상태를 벡터로 표현하고 전이 연산자를 행렬로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 크기의 양자 메모리를 갖는 공개 양자 상호작용 증명 체계는 임의의 튜링 인식 가능 언어를 인식할 수 있는가?
• RQ2 상수 크기의 양자 메모리를 갖는 양자 교호적 튜링 기계는 임의의 재귀적으로 탐색 가능한 언어를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 고전적 공간에 제한된 모델에 고정 크기의 양자 레지스터를 추가하면 계산 능력이 엄격하게 향상되는가?
• RQ4 고정된 레지스터 내에서의 양자 얽힘은 고전적 모델이 불가능한 경우에도 무한한 계산을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 강력한 qATM 모델은 고전적 비공개 교호적 모델과 유사하게 결정적 공간 계층을 정확히 한 단계 이동시키는가?

주요 결과

• 상수 공간의 약한 qAM 시스템은 완전한 완전성과 높은 타당성을 갖추고 있어, 비원소에 대해서도 정확하게 인식할 수 있다.
• 모든 EXPTIME 언어는 로그 공간 qAM 시스템을 통해 인식 가능하며, 이는 고전적 로그 공간 IP 시스템의 능력과 동일하다.
• 상수 양자 메모리를 갖는 단방향 qATM는 모든 재귀적으로 탐색 가능한 언어를 인식할 수 있으며, 고전적 유한 상태 기계와 비공개 ATMs를 뛰어넘는다.
• 모든 경로에서 정지가 보장되는 강력한 qATM 모델은 결정적 공간 계층을 정확히 한 단계 이동시키며, 비공개 고전적 교호적 모델과 유사한 성질을 보인다.
• 일부 경우에서 이 양자 프로토콜은 어떤 공간에 제한된 고전적 프로토콜로도 시뮬레이션될 수 없으며, 진정한 양자 우위를 입증한다.
• 완전히 정지하는 공간에 제한된 양자 튜링 기계는 최대 $ N^2 $ 단계 동안 실행될 수 있으며, 여기서 $ N $ 은 표준 구성의 수이며, 이는 워터스의 경계를 혼합 상태 모델로 일반화한 것이다.