[논문 리뷰] Two new versions of Heron's Formula

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 05.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 선형 대수학과 자카비 좌표를 사용하여 삼각형의 넓이를 질량 가중된 변과 중선에 대해 재표현함으로써 '헤론–자카비' 및 '헤론–홉프'라는 두 가지 새로운 헤론 공식을 제안한다. 이는 헤론 사상이 변에서 중선으로의 치환과 가환성을 가지며, 이로 인해 두 공식이 통합되며, 이 사상의 대각화를 통해 홉프 fibrations를 회복하고 캔들의 정리를 증명함으로써 삼각형의 형태 공간이 구임을 보여준다.

ABSTRACT

Recollect that Heron's formula for the area of a triangle given its sides has a counterpart given the medians instead, which carries an extra factor of $\frac{4}{3}$. On the one hand, we formulate the pair of these in Linear Algebra terms, showing that they are related by a sides-to-medians involution $J$, which we find to furthermore commute with the `Heron map' $H$ as visible in the expanded version of Heron. Upon further casting the pair of these in terms of mass-weighted Jacobi coordinates, we find moreover that they are placed on an exactly equal footing, the factor of $\frac{4}{3}$ having now cancelled out. This motivates the `Heron--Jacobi' version of Heron's formulae, for mass-weighted area in terms of mass-weighted sides and mass-weighted medians respectively. On the other hand, we show that diagonalizing the Heron map $H$ provides new derivations of, firstly, the famous Hopf map, and, secondly, of Kendall's Theorem that the space of triangles is a sphere. This occurs by the `Heron--Hopf' version of Heron's formula simplifying down to none other than the on-sphere condition. Thus we establish that -- both an important fibre bundle model, and a foundational theorem of Shape Theory: a widely applicable Differential Geometry and Topology topic -- arise together as consequences of just Heron's formula, Stewart's Theorem, and some elementary Linear Algebra manipulations. This working also accounts for the extra factor of 4 in the Hopf coordinate that is elsewise equal to the mass-weighted area in the 3-body problem context. It finally offers a new interpretation of the shape-theoretic ellipticity and anisoscelesness which realize the other two Hopf quantities: as eigenvectors shared by the Heron map $H$ and the sides-to-medians involution $J$.

연구 동기 및 목표

• 질량 가중 자카비 좌표를 사용하여 헤론의 공식을 재수정함으로써 변과 중선을 동등하게 다룰 수 있도록 한다.
• 헤론 사상과 변에서 중선으로의 치환 간의 가환 관계를 확립하여, 기존 공식에서 나타나는 $\frac{4}{3}$ 오차를 해결한다.
• 헤론 사상의 대각화가 홉프 피브레이션을 회복하고, 형태 공간이 구임을 보여주는 캔들 정리의 새로운 유도를 보여준다.
• 형태 이론에서 타원도와 이등변성의 의미를 헤론 사상의 고유벡터로 해석하여 홉프 좌표와 연결한다.
• 이러한 통찰을 평면상의 $N$-점 구성에 일반화하여 더 넓은 기하학적 및 위상적 프레임워크를 제안한다.

제안 방법

• 헤론 행렬 $\underline{\underline{H}}$를 사용하여 변 길이에 따라 넓이를 표현함으로써 헤론 공식을 재수정한다.
• 스튜어트 정리를 통해 변에서 중선으로의 치환 $\underline{\underline{J}}$ 를 도입하고, $\underline{\underline{H}}$ 와의 가환성을 보인다.
• 질량 가중 자카비 좌표를 적용하여 변과 중선의 표현을 등가의 기하학적 형태로 변환한다.
• 헤론–자카비 공식을 유도함으로써 $\frac{4}{3}$ 계수가 상쇄되며, 변과 중선이 대칭적으로 다뤄지게 된다.
• 헤론 행렬 $\underline{\underline{H}}$ 를 대각화하여 홉프 사상과 구 위 조건을 회복한다.
• 얻어진 홉프 좌표를 사용하여 형태 이론적 양: 넓이, 타원도, 이등변성을 형태 구 위의 카르테시안 축으로 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질량 가중 자카비 좌표를 사용하여 헤론의 공식을 재수정함으로써 변과 중선을 대칭적으로 다룰 수 있는가?
• RQ2 헤론 사상과 변에서 중선으로의 치환 간의 가환성은 대수학적·기하학적으로 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 선형 대수학을 통해 헤론 공식에서 직접 홉프 피브레이션과 형태 구에 대한 캔들 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 헤론 사상의 고유벡터로 해석할 때, 타원도와 이등변성은 형태 구에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 헤론–홉프 및 헤론–캔들–홉프 공식은 평면상의 $N$-점 구성으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 헤론–자카비 공식은 질량 가중된 변과 중선에 대한 넓이 표현을 통합하여, 좌표 변환을 통해 $\frac{4}{3}$ 오차를 제거함으로써 변과 중선을 동등하게 다룬다.
• 헤론 사상 $\underline{\underline{H}}$ 와 변에서 중선으로의 치환 $\underline{\underline{J}}$ 는 가환성을 가지며, 이는 변과 중선에 대한 헤론 공식의 구조적 유사성을 설명한다.
• 헤론 행렬을 대각화하면 홉프 사상이 회복되며, 헤론–홉프 공식은 구 위 조건으로 단순화되어 캔들 정리의 새로운 증명이 된다.
• 삼각형의 형태 공간은 표준 둥근 메트릭을 가진 위상적으로 구이며, 헤론–홉프 공식을 통해 확인된다.
• 타원도와 이등변성은 헤론 사상 $\underline{\underline{H}}$ 의 고유벡터로 식별되며, 치환 $\underline{\underline{J}}$ 와 같은 고유공간을 공유함으로써 넓이와 동일한 기하학적 지위를 가진다.
• 일반화된 헤론–홉프 접근법은 $N$-점 구성으로 확장되며, $N$-각형의 형태 공간이 $\mathbb{CP}^{N-2}$ 이며, 푸비니–슈타디 메트릭을 가짐을 시사하며 캔들 정리를 일반화한다.