[논문 리뷰] Alice in Triangleland: Lewis Carroll's Pillow Problem and Variants Solved on Shape Space of Triangles

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 30.

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한 줄 요약

이 논문은 케네디의 형태 공간과 균일한 확률 분포를 사용하여 2차원 평면상의 모든 레이블이 부여되고 반사 대칭이 아닌 삼각형의 형태를 구면체에 매핑함으로써 루이스 카를로우의 베개 문제를 해결한다. 이는 Prob(둔각) = 3/4임을 밝히며, 이론적 기법을 이용해 이sovceles, 높은, 평평한, 직각 삼각형을 포함한 다양한 변형 문제를 미분기하학적 기법을 통해 해결한다.

ABSTRACT

We provide a natural answer to Lewis Carroll's pillow problem of what is the probability that a triangle is obtuse, Prob(Obtuse). This arises by straightforward combination of a) Kendall's Theorem - that the space of all triangles is a sphere - and b) the natural map sending triangles in space to points in this shape sphere. The answer is 3/4. Our method moreover readily generalizes to a wider class of problems, since a) and b) both have many applications and admit large generalizations: Shape Theory. An elementary and thus widely accessible prototype for Shape Theory is thereby desirable, and extending Kendall's already-notable prototype a) by demonstrating that b) readily solves Lewis Carroll's well-known pillow problem indeed provides a memorable and considerably stronger prototype. This is a prototype of, namely, mapping flat geometry problems directly realized in a space to shape space, where differential-geometric tools are readily available to solve the problem and then finally re-interpret it in the original `shape-in-space' terms. We illustrate this program's versatility by posing and solving a number of variants of the pillow problem. We first find Prob(Isosceles is Obtuse). We subsequently define tall and flat triangles, as bounded by regular triangles whose base-to-median ratio is that of the equilateral triangle. These definitions have Jacobian and Hopfian motivation as well as entering Kendall's own considerations of `splinters': almost-collinear triangles. We find that Prob(Tall) = 1/2 = Prob(Flat) is immediately apparent from regularity's symmetric realization in shape space. However, Prob(Obtuse and Flat), Prob(Obtuse is Flat) and all other nontrivial expressions concerning having any two of the properties mentioned above, or having one of these conditioned on another, constitute nontrivial variants of the pillow problem, and we solve them all.

연구 동기 및 목표

• 루이스 카를로우의 고전적 베개 문제에 자연스럽고 기하학적인 해법을 제공한다: 임의의 삼각형이 둔각일 확률은 얼마인가?
• 이 해법을 삼각형의 형태 성질(예: 이sovceles, 둔각, 예각, 높은, 평평한 구성 등)을 포함하는 더 넓은 범주로 확장한다.
• 특히 케네디의 형태 구면과 자바히 좌표를 활용한 형태 이론의 힘과 일반성을 보여주며, 통합적이고 미분기하학적 틀에서 기하확률 문제를 해결하는 데 기여한다.
• 다양한 형태 성질의 조합(예: 둔각이면서 평평한, 둔각일 때 높은 등)을 포함하는 조건부 확률을 계산하여 원래 문제를 넘어서는 통찰을 제공한다.
• 기하학에서 형태 이론적 기법을 널리 접근 가능하게 만들기 위한 프로토타입을 구축한다. 이는 형태 구면에서의 기본적인 미분기하학과 대칭성 논증을 사용한다.

제안 방법

• 모든 레이블이 부여되고 반사 대칭이 아닌 2차원 삼각형의 공간이 위상적으로 2차원 구면체(형태 구면)임을 보여주는 케네디의 정리를 활용한다. 이는 균일한 확률 측도를 가진다.
• 자바히 좌표를 적용하여 삼각형 구성의 매개변수화를 수행하고, 예각, 직각, 둔각 삼각형 사이의 경계를 정의한다. 이 경계는 상호로 맞닿는 세 개의 구면 캡으로 구성된다.
• 기하 성질(예: 이sovceles, 직각, 정삼각형, 공선형)을 형태 구면 상의 특정 곡선과 영역으로 매핑함으로써, 호와 면적 적분을 통한 기하확률 계산이 가능해진다.
• 호프 사상과 호프 fibrations의 구조를 활용하여 정규성과 대칭성을 정의하고 분석한다. 특히 기저 대 중선 비율을 통해 '높은'과 '평평한' 삼각형을 정의한다.
• 구면 상의 호 길이와 면적 적분과 같은 미분기하학적 통합 기법을 사용하여 확률을 계산한다. 주요 식에는 arcsin(1/3)과 arcsin(1/√3)과 같은 역삼각함수를 포함한다.
• 형태 구면 상에서 조건부 확률 공식을 적용한다. 예를 들어 Prob(A|B) = Prob(A ∩ B)/Prob(B)를 사용하여 비트리비얼한 동시 및 조건부 확률을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형태 공간 상에서 균일한 분포를 가정할 때, 임의로 선택된 삼각형이 둔각일 확률은 얼마인가?
• RQ2 모든 삼각형 형태에 대해 균일한 분포를 가정할 때, 이sovceles 삼각형이 둔각일 확률은 얼마인가?
• RQ3 삼각형이 높거나 평평할 확률은 얼마이며, 이는 둔각 및 예각 삼각형의 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 삼각형이 둔각일 때 높거나 평평할 조건부 확률은 얼마인가?
• RQ5 형태 구면 상의 직각삼각형 곡선 상에서 균일한 분포를 가정할 때, 직각삼각형이 평평하거나 높을 확률은 얼마인가?

주요 결과

• 임의의 삼각형이 둔각일 확률은 정확히 3/4이며, 이는 형태 구면 상의 균일한 측도에 기반한다. 둔각 영역은 구면 전체 면적의 3/4를 차지하는 세 개의 구면 캡으로 구성된다.
• 이sovceles 삼각형이 둔각일 확률은 1/3이며, 이는 형태 구면 상의 둔각 이sovceles 삼각형의 호 길이를 전체 이sovceles 곡선 길이로 나눈 비율로 계산된다.
• 삼각형이 높을 확률은 1/2이며, 평평할 확률 역시 1/2이다. 이는 형태 구면 상의 정삼각형 구성에서의 반사 대칭성에 기인한다.
• 삼각형이 둔각일 때 평평할 조건부 확률은 약 0.567 또는 정확히 2/3 − α이며, 여기서 α = (1/π) arcsin(1/√3)이다.
• 삼각형이 둔각일 때 높을 조건부 확률은 약 0.433 또는 정확히 1/3 + α이며, α는 위와 같다.
• 직각삼각형이 평평할 확률은 약 0.2163 또는 정확히 (2/π) arcsin(1/3)이며, 이에 대한 보완 확률(높음)은 약 0.7837이다.