[논문 리뷰] Unbalanced penalization: A new approach to encode inequality constraints of combinatorial problems for quantum optimization algorithms

Alejandro Montanez-Barrera, Dennis Willsch외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 47인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 슬랙 변수를 사용하지 않고 조합 최적화 문제의 불등식 제약 조건을 양자 알고리즘에 통합하기 위한 새로운 방법으로 비균형 페널티화를 제안한다. 제약 조건 위반 시 더 큰 페널티를 적용함으로써, 큐비트 수요를 줄이고 D-Wave Advantage 및 하이브리드 솔버에서 해의 품질과 성공 확률을 크게 향상시킨다. 기존의 슬랙 변수 방법에 비해 문제 크기를 31개 항목까지 확장할 수 있게 되어, 슬랙 변수 방법의 11개 항목 한계를 초월한다.

ABSTRACT

Solving combinatorial optimization problems of the kind that can be codified by quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) is a promising application of quantum computation. Some problems of this class suitable for practical applications such as the traveling salesman problem (TSP), the bin packing problem (BPP), or the knapsack problem (KP) have inequality constraints that require a particular cost function encoding. The common approach is the use of slack variables to represent the inequality constraints in the cost function. However, the use of slack variables considerably increases the number of qubits and operations required to solve these problems using quantum devices. In this work, we present an alternative method that does not require extra slack variables and consists of using an unbalanced penalization function to represent the inequality constraints in the QUBO. This function is characterized by larger penalization when the inequality constraint is not achieved than when it is. We evaluate our approach on the TSP, BPP, and KP, successfully encoding the optimal solution of the original optimization problem near the ground state cost Hamiltonian. Additionally, we employ D-Wave Advantage and D-Wave hybrid solvers to solve the BPP, surpassing the performance of the slack variables approach by achieving solutions for up to 29 items, whereas the slack variables approach only handles up to 11 items. This new approach can be used to solve combinatorial problems with inequality constraints with a reduced number of resources compared to the slack variables approach using quantum annealing or variational quantum algorithms.

연구 동기 및 목표

• 양자 최적화에 불등식 제약 조건을 인코딩할 때 슬랙 변수로 인한 높은 자원 오버헤드를 해결한다.
• NISQ 장치에서 불등식 제약 조건을 가진 조합 문제를 해결하기 위해 필요한 큐비트 수와 연결 수를 줄인다.
• 최적의 해가 비용 해밀토니안의 기본 상태에서 유지되는 일반화 가능한 히우리스틱 기반 QUBO 인코딩 방법을 개발한다.
• 양자 앤날링 및 변량 양자 알고리즘에서 표준 슬랙 변수 방법에 비해 해의 품질과 성공 확률을 향상시키는 성능 향상을 입증한다.
• 제약 조건 인코딩으로 인한 큐비트 확장 최소화를 통해 현재의 양자 하드웨어에서 더 큰 문제 인스턴스를 해결할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 전통적인 슬랙 변수를 비균형 페널티 함수로 대체하여, 불등식 제약 조건이 위반될 경우 더 큰 페널티를 적용한다.
• λ₀, λ₁, λ₂ 매개변수를 조정하여 제약 조건 이행을 우선시하면서도 최적의 해가 비용 해밀토니안의 기본 상태에 유지되도록 QUBO 비용 함수를 구성한다.
• 비대칭 페널티 구조를 사용: 제약 위반 시 큰 페널티(예: 합 > 용량), 이행 시 더 작은 또는 0의 페널티.
• 이 페널티 체계를 사용해 TSP, BPP, KP 문제를 인코딩하여 제약 조건을 위한 추가 이진 변수를 피한다.
• OpenQAOA에서 1층 QAOA와 D-Wave Advantage 및 D-Wave 하이브리드 솔버에서 양자 앤날링을 사용해 방법을 검증한다.
• Jülich Universal Quantum Computer Simulator(JUQCS)를 활용해 최대 43 큐비트 문제를 시뮬레이션하여, 고전적 시뮬레이션 한계 근처에서 방법의 성능을 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균형 페널티화는 슬랙 변수를 도입하지 않고도 QUBO 설정에 불등식 제약 조건을 인코딩할 수 있는가?
• RQ2 비균형 페널티화는 양자 앤날링 및 변량 알고리즘에서 슬랙 변수 방법에 비해 최적 해를 찾는 확률을 높이는가?
• RQ3 현재의 양자 하드웨어에서 비균형 페널티화 방법은 슬랙 변수 방법보다 얼마나 더 큰 문제 인스턴스에 스케일링 가능한가?
• RQ4 TSP, BPP, KP 등 다양한 조합 문제에서 비균형 페널티화와 슬랙 변수 간의 성공 확률과 해의 품질은 어떻게 비교되는가?
• RQ5 CoP(성능 가능성) 지표는 문제 크기가 증가함에 따라 QAOA에서 비균형 페널티화의 체계적 우수성을 드러내는가?

주요 결과

• 비균형 페널티화 방법은 TSP, BPP, KP 문제에서 원래 최적화 문제의 최적 해가 비용 해밀토니안의 기본 상태 에너지 근처에 성공적으로 인코딩된다.
• D-Wave 하이브리드 솔버에서 이 방법은 최대 31개 항목의 박스 패킹 문제를 해결했고, 슬랙 변수 방법은 11개 항목으로 제한되었다.
• 4개 도시를 가진 TSP 문제에서 QAOA(p=1)를 사용할 경우, 비균형 페널티화를 적용한 경우 최적 해를 찾는 확률이 슬랙 변수 방법보다 10배 이상 높았다.
• 3개 항목의 BPP 문제에서 비균형 페널티화를 사용한 성공 확률은 슬랙 변수 방법보다 10,000배 이상 높았다.
• 10개 항목의 KP 문제에서 비균형 페널티화를 사용한 성공 확률은 슬랙 변수 방법보다 약 346배 높았다.
• CoP 지표는 TSP와 BPP의 경우 문제 크기가 증가함에 따라 지수적 성장 추세를 보였고, KP의 경우 선형 성장 추세를 보였으며, 이는 문제 크기가 커질수록 QAOA에서 비균형 페널티화의 잠재적 암묵적 우수성이 있음을 시사한다.