[논문 리뷰] Uniform tail approximation of homogenous functionals of Gaussian fields

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 랜덤 필드의 동차 함수형에 대한 尾確率의 渐近近似을 유도하기 위해 통일된 이중합 방법을 개발한다. 이는 고전적인 피카운드 유형 결과를 비정상적이고 매개변수에 의존하는 설정으로 확장한다. 주요 기여는 관련 구조와 매개변수 의존성에 대한 온건한 정규성 조건 하에서, u→∞ 일 때 함수형 Γ(ξᵤ,τᵤ)의 尾確率가 표준 정규 尾確率 Ψ(gᵤ,τᵤ)의 상수배로 균일하게 수렴한다는 통일된 극한 결과를 보여주는 것이다.

ABSTRACT

Let $X(t),t\in R^d$ be a centered Gaussian random field with continuous trajectories and set $ξ_u(t)= X(f(u)t),t\in R^d$ with $f$ some positive function. Classical results establish the tail asymptotics of $P\{ Γ(ξ_u) > u\}$ as $u o \infty$ with $Γ(ξ_u)= \sup_{t \in [0,T ]^d} ξ_u(t),T>0$ by requiring that $f(u) o 0$ with speed controlled by the local behaviour of the correlation function of $X$. Recent research shows that for applications more general continuous functionals than supremum should be considered and the Gaussian field can depend also on some additional parameter $τ_u \in K$, say $ξ_{u,τ_u}(t),t\in R^d$. In this contribution we derive uniform approximations of $P\{ Γ(ξ_{u,τ_u})> u\}$ with respect to $τ_u$ in some index set $K_u$, as $u o\infty$. Our main result have important theoretical implications; two applications are already included in [10,11]. In this paper we present three additional ones, namely i) we derive uniform upper bounds for the probability of double-maxima, ii) we extend Piterbarg-Prisyazhnyuk theorem to some large classes of homogeneous functionals of centered Gaussian fields $ξ_{u}$, and iii) we show the finiteness of generalized Piterbarg constants.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 필드의 최대값 함수형에 대한 고전적 尾漸近을 초월하여 더 일반적인 동차 함수형으로 확장하기.
• 매개변수 의존성 있는 가우시안 필드 ξᵤ,τᵤ에 대해 u→∞ 일 때 尾確率의 통일된 근사 제공, τᵤ∈Kᵤ 에 대해.
• 중앙 가우시안 필드의 광범위한 동차 함수형에 대해 피터바르그-프리사잔유크 정리를 일반화하기.
• 약한 정규성 조건 하에서 일반화된 피터바르그 상수가 유한함을 증명하기.
• 비정상적이고 i.i.d. 가 아닌 설정으로 극값 분석을 확장하기 위해 필수적인 이중최대값 확률에 대한 통일된 상한 제공하기.

제안 방법

• 매개변수 의존성 있는 가우시안 필드 ξᵤ,τᵤ (τᵤ∈Kᵤ) 에 대해 고전적 스렙리안 및 이중합 기법을 확장한 통일된 이중합 방법 제안.
• 통일된 渐近등가성 도출: limᵤ→∞ supₜᵤ∈Kᵤ |ℙ{Γ(ξᵤ,τᵤ)>gᵤ,τᵤ}/Ψ(gᵤ,τᵤ) − C| = 0, 여기서 C는 양의 상수.
• 임계값 의존성 있는 가우시안 과정의 통일된 꼬리 渐近을 사용하여, 스렙리안 부등식 대신 통일된 상한을 적용.
• 이중합 전개에서 오차 항을 제어하기 위해, 서로소 구간에 대한 이중 최대값 확률의 통일된 강건성 적용.
• 상관 함수의 연속성과 국소적 행동에 의존하며, 증분의 분산이 균일하게 수렴하는 조건을 수립.
• 콤���트성 추론과 통일된 동등연속성으로 매개변수 τᵤ 에 대한 꼬리 확률의 의존성을 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 필드의 동차 함수형에 대한 꼬리 渐近을 최대값을 초월하여 매개변수 의존적 설정에서 더 일반적인 함수형으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 u→∞ 일 때 매개변수 집합 Kᵤ 에 대해 꼬리 확률의 균일 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 피터바르그-프리사잔유크 정리는 비정상적이고 i.i.d. 가 아닌 가우시안 필드에 대해 매개변수 의존성 있는 경우로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 기능적 방식으로 정의된 일반화된 피터바르그 상수가 어떤 조건에서 유한한가?
• RQ5 비정상적 가우시안 필드에서 이중최대값 확률에 대해 어떤 통일된 상한을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 통일된 渐近등가성 수립: limᵤ→∞ supₜᵤ∈Kᵤ |ℙ{Γ(ξᵤ,τᵤ)>gᵤ,τᵤ}/Ψ(gᵤ,τᵤ) − C| = 0, 여기서 C>0 는 국소적 상관 구조에 따라 결정되는 상수.
• 통일된 이중합 방법은 고전적 피카운드 유형 결과를 비정상적이고 매개변수 의존성 있는 가우시안 필드로 확장할 수 있게 한다.
• 상관 함수와 매개변수 공간에 대한 온건한 정규성 조건 하에서 일반화된 피터바르그 상수가 유한함을 입증.
• 이중최대값 확률에 대한 통일된 상한이 도출되었으며, 이는 이중합 전개의 오차 제어에 필수적이다.
• 조건 C2 및 (12) 또는 (16) 하에서 증분의 분산의 균일 수렴과 극한 분산 함수의 균일 연속성 간의 등가성 증명.
• 논문은 복잡한 함수형 가우시안 필드, 예를 들어 최소-최대값 및 이중최대값 문제에 대한 극값 분석을 확장하기 위한 엄밀한 기초를 제공한다.