[논문 리뷰] Unit groups of maximal orders in totally definite quaternion algebras over real quadratic fields

Qun Li, Jiangwei Xue외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실 이차체 위의 완전히 정의된 허미션 볼루션 대수에서 최대 주문의 정수군을 중심에 대해 모듈로 분석하여, 실 이차체 위의 완전히 정의된 허미션 볼루션 대수에서 최대 주문의 보다 정교한 계수 및 유형 수 공식을 수립한다. 유한 비순환군 G와 동형인 감소 단위군을 갖는 최대 주문의 공轭류 수에 대한 명시적 공식을 제공하고, 이를 통해 특수한 아벨 곡면이 소수 p ≠ 1 mod 24 인 유한체에서 존재함을 증명한다. 이 곡면의 종함수 대수는 ℚ(√p)이다.

ABSTRACT

We study a form of refined class number formula (resp. type number formula) for maximal orders in totally definite quaternion algebras over real quadratic fields, by taking into consideration the automorphism groups of right ideal classes (resp. unit groups of maximal orders). For each finite noncyclic group $G$, we give an explicit formula for the number of conjugacy classes of maximal orders whose unit groups modulo center are isomorphic to $G$, and write down a representative for each conjugacy class. This leads to a complete recipe (even explicit formulas in special cases) for the refined class number formula for all finite groups. As an application, we prove the existence of superspecial abelian surfaces whose endomorphism algebras coincide with $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ in all positive characteristic $p ot\equiv 1\pmod{24}$.

연구 동기 및 목표

• 중심에 대한 단위군의 구조를 통합하여 실 이차체 위의 완전히 정의된 허미션 볼루션 대수에서 최대 주문의 보다 정교한 계수 및 유형 수 공식을 개발한다.
• 주어진 유한 비순환군 G와 동형인 감소 단위군을 갖는 최대 주문의 모든 공轭류를 분류한다.
• 해당 공轭류 수에 대한 명시적 공식을 유도하고 각 공轭류에 대한 대표자를 제공한다.
• 정교화된 공식을 적용하여, p ≢ 1 mod 24 인 양의 특성수 p를 갖는 초특수 아벨 곡면이 존재함을 증명한다.

제안 방법

• 에이클러의 추적 공식과 SO₃(ℝ)의 유한 부분군 분류를 사용하여 감소 단위군의 구조를 분석한다.
• 비그나라스 단위지수를 정의하고 계산하며, 이를 실 이차체 F = ℚ(√d)의 기본 단위와 연결한다.
• 비순환 유한군 G에 대한 최소 G-주문을 구성하고, 그 정규화군을 분석하여 최대 주문을 분류한다.
• CM-확장 K/F와 그 단위군을 연구하여 최대 주문의 가능한 감소 단위군을 규명한다.
• 특히 F(√−1), F(√−3), F(√−ε)와 같은 CM-체에서의 이차 OF-주문을 분석하여 단위군 구조를 분류한다.
• 결과를 F = ℚ(√p) 및 H = H∞₁,∞₂ 의 경우에 적용하여 정교화된 유형 수를 계산하고 초특수 아벨 곡면의 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 유한 비순환군 G에 대해, 실 이차체 위의 완전히 정의된 허미션 볼루션 대수에서 감소 단위군이 G와 동형인 최대 주문의 공轭류는 몇 개인가?
• RQ2 감소 단위군이 주어진 G인 최대 주문의 각 공轭류에 대한 명시적 대표자는 무엇인가?
• RQ3 소수 p에 대해 어떤 조건이 성립할 경우, ℚ(√p) 위의 H∞₁,∞₂ 에서 비아벨 감소 단위군을 갖는 최대 주문이 존재하는가?
• RQ4 특성 p인 유한체 위의 초특수 아벨 곡면의 종함수 대수는 언제 ℚ(√p)와 같아지는가?
• RQ5 정교화된 계수 수 및 유형 수 공식을 어떻게 사용하여 주어진 종함수 대수를 갖는 함수체 위의 아벨 다양체를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한 비순환군 G에 대해, 실 이차체 위의 완전히 정의된 허미션 볼루션 대수에서 감소 단위군이 G와 동형인 최대 주문의 공轭류 수에 대한 명시적 공식을 제공한다.
• 각 공轭류에 대한 최대 주문의 대표자를 구성함으로써, 주어진 감소 단위군 G를 갖는 최대 주문의 완전한 분류가 가능해진다.
• 최대 주문의 감소 단위군이 비아벨임은 p ≢ 1 mod 24 인 경우에 국한된다. 여기서 F = ℚ(√p)는 기저 체이다.
• H∞₁,∞₂ 위의 최대 주문에서 감소 단위군이 S₄ 또는 A₅와 동형인 경우가 존재함은 p ≢ 1 mod 24 인 경우에 국한된다.
• 모든 소수 p ≢ 1 mod 24 에 대해, 특성 p인 체 위에 존재하는 초특수 아벨 곡면 중 종함수 대수가 정확히 ℚ(√p)인 것이 존재한다.
• ℓ ≥ 1 인 경우, K = 𝔽p^ℓ^∞(t) 위에서는 종함수 대수가 ℚ(√p)와 동형인 초특수 아벨 곡면 X₀의 무한히 많은 K-형이 존재한다. 이때 p ≢ 1 mod 24 이다.