[논문 리뷰] Valuations and dynamic convex risk measures

Arnaud Jobert, L. C. G. Rogers|RePEc: Research Papers in Economics|2007. 09. 03.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 축약된 평가 연산자(valuation operators)를 사용하여 시간 일致성, 볼록성, 정규성, 단조성 등의 공리들을 만족하는 동적 볼록 위험 측정 프레임워크를 제안한다. 자회사 간 위험 분담과 금융시장 접근성이 이러한 공리들을 유지함을 입증하여, 벌금 함수와 상태가격 밀도를 포함하는 이중 표현을 통해 안정적이고 시간 일치성 있는 평가가 가능함을 보장한다.

ABSTRACT

This paper approaches the definition and properties of dynamic convex risk measures through the notion of a family of concave valuation operators satisfying certain simple and credible axioms. Exploring these in the simplest context of a finite time set and finite sample space, we find natural risk-transfer and time-consistency properties for a firm seeking to spread its risk across a group of subsidiaries.

연구 동기 및 목표

• 자회사 간 위험 이전과 시간의 흐름을 고려한 동적 볼록 위험 측정 프레임워크를 개발하는 것.
• 수용 집합이 아닌 평가 연산자를 통해 동적 볼록 위험 측정의 개념을 형식화하여 시간 일치성과 위험 분담을 강조하는 것.
• 자회사 간 위험 분담이 원래 공리들을 만족하는 평가로 이어져 장기적 안정성을 보장하는지 보여주는 것.
• 금융시장 접근성을 프레임워크에 확장하여, 시장 참여가 일관되고 수정된 평가를 가져오는지 보여주는 것.
• 벌금 함수와 상태가격 밀도 과정을 사용한 동적 평가의 이중 표현을 수립하는 것.

제안 방법

• 위험 측정의 음수로 평가 연산자 π를 정의하며, 이는 볼록성, 양의 동차성(일관성 있는 경우), 단조성, 이동 불변성 등의 공리들을 만족한다.
• 분석을 단순화하고 동적 평가의 성질을 유도하기 위해 유한한 시간과 유한한 표본 공간 설정을 사용한다.
• '접합' 성질을 통해 시간 일치성을 확립한다: π_tT(Y) = E_t[ζ_T Y]/ζ_t, 여기서 ζ는 상태가격 밀도 과정이다.
• 동적 평가를 이중 형태로 표현한다: π(X) = inf_{Q∈Q} {E_Q[X] - α(Q)}, 이는 일관성 있는 위험 측정을 일반화한다.
• 다기간 평가를 일기간 구성요소로 분해하여 순차적 계산과 해석을 가능하게 한다.
• 위험 분담과 시장 접근성이 공리적 구조를 유지함을 증명하여 동적 일관성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다기간 설정에서 시간에 따라 일관되게 정의된 동적 볼록 위험 측정은 어떻게 가능할 수 있는가?
• RQ2 동적 평가 프레임워크에서 시간 일치성과 위험 이전 안정성을 보장하는 공리적 성질은 무엇인가?
• RQ3 자회사 간 위험 분담은 평가 과정과 볼록성 및 시간 일치성 준수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 시장 접근성은 동적 평가의 구조와 그 이중 표현에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 동적 평가는 상태가격 밀도와 벌금 함수를 통해 표현될 수 있으며, 라돈-니코딤 정리의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 동적 볼록 평가는 π(X) = inf_{Q∈Q} {E_Q[X] - α(Q)}로 표현될 수 있으며, 여기서 α는 볼록 벌금 함수로 일관성 있는 위험 측정을 일반화한다.
• 자회사 간 위험 분담은 원래 공리들을 만족하는 평가를 초래하여 장기적 일致성과 안정성을 보장한다.
• 위험 분담 하에서 평가 시스템의 시간 일치성이 유지되며, 이는 기업의 최적 위험 배분이 향후 모든 시점에서 최적임을 의미한다.
• 시장 접근성은 기업에게 고정된 이점을 제공하지만, 결과적으로 수정된 벌금 함수를 갖는 동일한 공리적 프레임워크를 유지한다.
• 동적 평가 연산자는 상태가격 밀도 과정을 통해 이중 표현을 갖는다: π_tT(Y) = E_t[ζ_T Y]/ζ_t로, 표준 위험 중립적 가격 결정과 연결된다.
• 라돈-니코딤 정리에 의해 상태가격 밀도 과정 ζ_T가 존재하여 π_0T(Y) = E[ζ_T Y]임을 보장하며, 이는 평가의 확률적 기반을 확립한다.