[논문 리뷰] Variety Membership Testing, Algebraic Natural Proofs, and Geometric Complexity Theory

Markus Bläser, Christian Ikenmeyer외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 06.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3차 텐서의 슬라이스 랭크 및 밸런스 랭크 다양체의 멤버십 테스팅이 NP-난이도임을 증명함으로써, 텐서 복잡도에서 핵심적인 대수적 다양체인 슬라이스 랭크 및 밸런스 랭크 다양체의 NP-난이도를 확립한다. 결정적 문제로서 3차 텐서의 슬라이스 랭크 ≤r 또는 밸런스 랭크 ≤r 여부를 판단하는 것은 NP-완전임을 보였다. 표준 복잡도 가정 하에 이 다양체들에 대해 대수적 자연 증명 장벽을 확장하였으며, 표현 이론과 행렬식 방법을 사용하여 기하학적 복잡도 이론(GCT)이 이들 다양체에 대해 비자명한 방정식을 유도할 수 있음을 보여, GCT가 영구함수 대 비율 행렬식과 같은 근본적인 복잡도 문제를 해결하는 데 잠재력을 지닌다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

We study the variety membership testing problem in the case when the variety is given as an orbit closure and the ambient space is the set of all 3-tensors. The first variety that we consider is the slice rank variety, which consists of all 3-tensors of slice rank at most $r$. We show that the membership testing problem for the slice rank variety is $\NP$-hard. While the slice rank variety is a union of orbit closures, we define another variety, the minrank variety, expressible as a single orbit closure. Our next result is the $\NP$-hardness of membership testing in the minrank variety, hence we establish the $\NP$-hardness of the orbit closure containment problem for 3-tensors. Algebraic natural proofs were recently introduced by Forbes, Shpilka and Volk and independently by Grochow, Kumar, Saks and Saraf. Bläser et al. gave a version of an algebraic natural proof barrier for the matrix completion problem which relies on $\coNP \subseteq \exists \BPP$. It implied that constructing equations for the corresponding variety should be hard. We generalize their approach to work with any family of varieties for which the membership problem is $\NP$-hard and for which we can efficiently generate a dense subset. Therefore, a similar barrier holds for the slice rank and the minrank varieties, too. This allows us to set up the slice rank and the minrank varieties as a test-bed for geometric complexity theory (GCT). We determine the stabilizers of the tensors that generate the orbit closures of the two varieties and prove that these tensors are almost characterized by their symmetries. We prove several nontrivial equations for both the varieties using different GCT methods. Many equations also work in the regime where membership testing in the slice rank or minrank varieties is $\NP$-hard. We view this as a promising sign that the GCT approach might indeed be successful.

연구 동기 및 목표

• 3차 텐서의 슬라이스 랭크 다양체 및 밸런스 랭크 다양체 멤버십 테스팅의 계산 난이도를 규명하는 것.
• 스토리지 복잡도 가정 하에 이 다양체들로의 대수적 자연 증명 프레임워크를 확장하여, 정의 방정식을 구성하는 것이 coNP ⊆ ∃BPP 가정 없이도 어렵다는 것을 보이는 것.
• 기하학적 복잡도 이론(GCT)이 멤버십 테스팅이 NP-난이도인 경우에도 이들 다양체에 대해 비자명한 방정식을 도출할 수 있는지 조사하는 것.
• 생성 텐서의 안정자(stabilizers)를 규명하고, 그것들이 그들의 대칭성에 의해 거의 유일하게 결정됨을 증명함으로써, GCT에서 표현 이론적 도구의 활용 가능성을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 기존의 알려진 NP-완전 문제로의 축소를 통해 슬라이스 랭크 다양체 멤버십 테스팅의 NP-난이도를 증명함으로써, 3차 텐서의 슬라이스 랭크 ≤r 여부를 판단하는 것이 NP-완전임을 보였다.
• 일반화된 행렬 완성 문제를 일반화한 단일 궤도 폐쇄로서의 밸런스 랭크 다양체를 도입하고, 그 멤버십 테스팅의 NP-난이도를 증명하였다.
• Forbes, Shpilka, 및 Volk의 대수적 자연 증명 장벽을, 멤버십 테스팅이 NP-난이도이면서 밀도 높은 부분집합을 효율적으로 생성할 수 있는 다양체에 대해 적응하여, 슬라이스 랭크 및 밸런스 랭크 다양체 모두에 대해 장벽을 수립하였다.
• 특히 최고 무게 벡터와 다중도 한계를 활용한 표현 이론 기법을 사용하여, 두 다양체에 대한 비자명한 방정식을 도출하였다.
• 짧은 표현 방식으로 표현된 큰 행렬식과 Koszul-플랫텐링 기법을 적용하여, NP-난이도 영역에서도 성립하는 방정식을 구성하였다.
• 두 다양체의 궤도 폐쇄를 생성하는 텐서들이 그들의 대칭성에 의해 거의 유일하게 결정됨을 안정자 분석을 통해 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차 텐서의 슬라이스 랭크 다양체 멤버십 테스팅은 NP-난이도인가?
• RQ2 표준 복잡도 가정 하에 대수적 자연 증명 장벽이 슬라이스 랭크 및 밸런스 랭크 다양체로 확장되는가?
• RQ3 멤버십 테스팅이 NP-난이도인 경우에도 기하학적 복잡도 이론(GCT)이 슬라이스 랭크 및 밸런스 랭크 다양체에 대해 비자명한 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 다양체의 궤도 폐쇄를 생성하는 텐서들은 그들의 대칭성에 의해 거의 특징지어지는가?
• RQ5 최고 무게 벡터 및 행렬식 기반 플랫텐링과 같은 표현 이론적 방법이 이 다양체에 대한 방정식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 3차 텐서의 슬라이스 랭크 다양체 멤버십 테스팅은 NP-난이도이며, 텐서의 슬라이스 랭크가 최대 r 이하인지 여부를 판단하는 것은 계산적으로 비가역적임을 입증하였다.
• 단일 궤도 폐쇄인 밸런스 랭크 다양체의 멤버십 테스팅 역시 NP-난이도이며, 이는 3차 텐서의 궤도 폐쇄 포함 문제 역시 NP-난이도임을 의미한다.
• 대수적 자연 증명 장벽은 슬라이스 랭크 및 밸런스 랭크 다양체 모두에 적용되며, coNP ⊆ ∃BPP 가정이 없이도 정의 방정식을 구성하는 것이 어렵다는 것을 의미한다.
• 두 다양체의 생성 텐서의 안정자들이 거의 텐서를 특징지움을 증명하여, GCT에서 대칭 기반 방법의 활용 가능성을 뒷받침한다.
• 최고 무게 벡터, Koszul-플랫텐링, 큰 행렬식을 사용하여, NP-난이도 영역에서도 비자명한 방정식을 구성하였다.
• 이 방정식들은 임의의 체에서 유효하며, GCT 방법론이 복잡도 이론적 다양체에 대해 의미 있는 불변량을 도출할 수 있음을 보여준다.