[논문 리뷰] Viscosity Solutions for HJB Equations on the Process Space

Jianjun Zhou, Nizar Touzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 01. 10.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공통 노이즈와 퇴화된 확산성을 가진 평균장 제어 문제를 다룰 수 있도록, 과정 공간 위에서 완전 비선형이고 두 번째 차수이며 경로에 의존하는 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식에 대한 새로운 점도 해법 프레임워크를 제안한다. 시험 함수에 특이적이고 절대 연속적인 성분을 통합함으로써, 저자들은 단지 리프시츠 연속성 조건 하에서도 존재성과 비교 원리(Comparison Principle)를 확립하여 점도 해의 유일성과 HJB 방정식의 잘 정의됨을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate a path dependent optimal control problem on the process space with both drift and volatility controls, with possibly degenerate volatility. The dynamic value function is characterized by a fully nonlinear second order path dependent HJB equation on the process space, which is by nature infinite dimensional. In particular, our model covers mean field control problems with common noise as a special case. We shall introduce a new notion of viscosity solutions and establish both the existence and the comparison principle, under merely Lipschitz/Holder continuity assumptions. The main feature of our notion is that, besides the standard smooth part, the test function consists of an extra singular component which allows us to handle the second order derivatives of the smooth test functions without invoking the Crandall-Ishii lemma. We shall use the doubling variable arguments, combined with the Ekeland-Borwein-Preiss variational principle in order to overcome the noncompactness of the state space. A smooth gauge-type function on the path space is crucial for our estimates.

연구 동기 및 목표

• 경로에 의존하고 퇴화된 확산성을 가진 확률적 제어 문제에서 나타나는 완전 비선형이고 두 번째 차수이며 경로에 의존하는 HJB 방정식에 대해 강력한 점도 해법 이론의 부재를 해결하기 위해.
• 기존 표준 HJB 이론에서 다루지 못한 공통 노이즈를 가진 평균장 제어 문제의 적용 가능성을 확장하기 위해.
• 매끄럽거나 컴act성 조건을 요구하지 않고, 유일한 점도 해와 비교 원리를 확립하기 위해 최소한의 정규성 조건—특히 리프시츠 연속성—하에서 유일성과 비교 원리를 확립하기 위해.
• 이중 도함수 추정 기술의 기술적 장애를 우회하기 위해, 특이적이고 절대 연속적인 성분을 포함하는 새로운 시험 함수의 구조를 개발하기 위해.
• 공통 노이즈를 가진 평균장 제어에 의해 유도되는 워샤프스키 공간 위에서 HJB 방정식의 잘 정의됨을 보장하기 위해.

제안 방법

• 이중 도함수 추정 기술에서 이시의 보조정리(Ishii's lemma)를 피하기 위해, 시험 함수를 매끄러운 부분과 특이적이고 시간에 대해 절대 연속적인 성분으로 분해하는 새로운 점도 해법의 개념을 제안한다.
• 경로 공간의 비콤팩트성 문제를 극복하기 위해, 이중 변수 방법과 에클랜드-보르베인-프라이스의 변분 원리를 결합한다.
• 비교 원리의 증명 과정에서 균일한 유계성을 확보하기 위해, 경로 공간 위에 매끄러운 게이지 유형 함수를 구축한다.
• 일정한 확산성을 가진 경우의 변환 기반 아이디어를 활용하여, 시험 함수의 특이적 성분의 구성에 대한 동기를 제공한다.
• 특이적 성분을 조정하여 HJB 방정식의 확산 항을 상쇄시킴으로써, 이중 변수 방법에서 두 번째 차수 도함수 항을 제어할 수 있도록 한다.
• 상태와 제어 과정 간의 공동 법칙 의존성 구조를 활용하여, 경로에 의존하는 설정에서 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퇴화된 확산성을 가진 과정 공간 위에서 완전 비선형이고 두 번째 차수이며 경로에 의존하는 HJB 방정식에 대해 점도 해법 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 매끄럽거나 컴팩트성 조건을 요구하지 않고, 리프시츠 연속성 조건 하에서 비교 원리를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 무한차원 HJB 방정식에서 두 번째 차수 도함수를 다루는 데 있어, 시험 함수의 특이적이고 절대 연속적인 성분의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이 프레임워크는 공통 노이즈를 가진 평균장 제어 문제를 특수한 경우로 포함시킬 수 있는가?
• RQ5 최소한의 정규성 조건 하에서, 동적 가치 함수는 HJB 방정식의 유일한 점도 해인가?

주요 결과

• 저자들은 기존 문헌에서 요구하는 조건보다 크게 약화된 리프시츠 연속성 조건 하에서도 HJB 방정식에 대해 비교 원리를 확립하였다.
• 경로에 의존하는 최적 제어 문제의 동적 가치 함수가 HJB 방정식의 유일한 점도 해임을 증명하였다.
• 매끄러운 부분과 특이적이고 절대 연속적인 성분으로 구성된 새로운 시험 함수의 구조는 이시의 보조정리를 우회하고 두 번째 차수 도함수 항을 제어할 수 있도록 하였다.
• 이 프레임워크는 공통 노이즈를 가진 평균장 제어에 의해 유도되는 워샤프스키 공간 위에서 HJB 방정식의 잘 정의됨을 보장한다.
• 에클랜드-보르베인-프라이스의 변분 원리와 경로 공간 위에 철저히 구성된 게이지 함수를 활용하여, 상태 공간의 비콤팩트성 문제를 극복하였다.
• 기존의 평균장 제어에 대한 점도 해법 이론을 일반화하여, 가능하면 퇴화된 확산성을 가진 드리프트 및 확산 제어를 모두 포함한다.