[논문 리뷰] Viscosity Solutions of Path-Dependent PDEs and Non-Markovian Forward-Backward Stochastic Equations

Andrea Cosso|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정규성 조건이 없는 비정상 마크وف가 아닌 후방-전방 확률미분방정식(FBSDEs)을 사용하여 반선형 경로에 의존하는 PDEs에 대한 비선형 파입만-카크 표현을 수립한다. 이는 이전 연구에서 비정규성 조건이 없는 경우를 제거함으로써 결과를 확장한 것이다. 이 논문은 일반화된 점성 해 프레임워크 하에서 이러한 FBSDE의 해가 해당 경로에 의존하는 PDE의 점성 해임을 증명하며, 확장된 확률 공간 접근법을 통해 유일성 및 비교 결과를 도출한다.

ABSTRACT

It is known that Markovian forward-backward stochastic differential equations provide nonlinear Feynman-Kac representation formulae for semilinear parabolic PDEs. We show that non-Markovian forward-backward stochastic differential equations provide nonlinear Feynman-Kac formulae for semilinear path-dependent PDEs. This extends the result proved in Ekren, Keller, Touzi, and Zhang [4] to the case with a possibly degenerate diffusion coefficient in the forward dynamics.

연구 동기 및 목표

• 비정상 마크وف가 아닌 FBSDEs를 사용하여 반선형 경로에 의존하는 PDEs로 비선형 파입만-카크 표현을 확장한다.
• 이전 연구에서 요구한 확산 계수 σσᵀ > 0의 비정규성 조건을 제거한다.
• FBSDE의 해가 관련된 경로에 의존하는 PDE의 점성 해임을 수립한다.
• 확장된 확률 공간 기법을 사용하여 점성 해의 유일성 및 비교 원리를 증명한다.
• 반선형 케이스를 초월하여 완전히 비선형 포물형 PPDEs로 점성 해 프레임워크를 일반화한다.

제안 방법

• Ekren, Touzi, 및 Zhang(2014)의 경로에 의존하는 PDEs를 위한 점성 해 정의를 채택하며, 전통적인 최소/최대 조건을 비선형 기대 하의 최적 정지로 대체한다.
• 기능적 Itô 미분법을 사용하여 무작위 장 v(t,ω) = Ytt,x에 대한 경로 기반 도함수 ∂tv, ∂ωv, 및 ∂ωω²v를 정의한다.
• 전방 과정과 브라운 운동을 독립적으로 간주할 수 있도록 확장된 확률 공간 (Ωd+n, Fd+nT, P₀d+n)을 활용하여 비정규성 확산의 분석을 가능하게 한다.
• 논문의 가정들(예: 일정한 b 및 σ) 하에서 [7]의 정리 3.4를 적용하여 전방 계수에 대한 느슨한 가정 하에서 점성 해의 비교 및 유일성을 확립한다.
• 비정상 마크وف가 아닌 FBSDE에서 경로에 의존하는 PDE를 형식적으로 유도하기 위해 기능적 도함수, 드리프트 및 확산 계수를 포함하는 생성자 식별.
• 해 Ytt,x = v(t,x)의 표현을 통해 FBSDE 해와 관련 PPDE의 점성 해를 연결하며, 종단 조건 v(T,x) = g(x)를 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 계수가 비정규일 경우 비정상 마크وف가 아닌 FBSDEs가 반선형 경로에 의존하는 PDE의 점성 해를 제공할 수 있는가?
• RQ2 Ekren 등이 제시한 점성 해 프레임워크가 σσᵀ > 0 조건 없이 비정규 케이스로 확장 가능한가?
• RQ3 전방 계수에 대한 약한 가정 하에서 경로에 의존하는 PDE의 점성 해에 대한 비교 원리를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 확산 계수가 정사각형이거나 비정규가 아닐 경우에도 비정상 마크وف가 아닌 FBSDE의 해가 점성 의미에서 경로에 의존하는 PDE를 만족시킬 수 있는가?
• RQ5 확장된 공간 방법을 통해 비정규 케이스에서 점성 해의 유일성이 유지되는가?

주요 결과

• 비정상 마크وف가 아닌 FBSDE의 해는 확산 계수 σ가 정사각형이거나 비정규가 아닐 경우에도 반선형 경로에 의존하는 PDE의 점성 해를 정의한다.
• 논문은 무작위 장 v(t,x) = Ytt,x가 일반화된 점성 해 정의 하에서 종단 조건 v(T,x) = g(x)를 갖는 경로에 의존하는 PDE의 점성 해임을 증명한다.
• 정리 3.4([7])를 통해 UCb(Λd+n)에서 점성 해의 유일성이 확립되며, 이는 논문의 가정들(일정한 b 및 σ 포함) 하에서 성립한다.
• 주어진 가정 하에서 점성 하위해 및 초하위해에 대한 비교 원리가 성립하여, 종단 조건이 부등식을 만족할 경우 유계 점성 하위해가 유계 초하위해에 의해 지배됨을 보장한다.
• 확장된 확률 공간 방법을 통해 전방 과정과 브라운 운동을 더 큰 공간에서 독립적으로 간주함으로써 비정규성 확산의 처리가 가능해진다.
• 유도된 경로에 의존하는 PDE는 기능적 도함수 ∂tv, ∂ωv, 및 ∂ωω²v를 포함하며, 생성자는 드리프트, 확산, 및 드라이버 f를 포함하여 FBSDE와 PPDE 사이의 형식적 연결을 확인한다.