[논문 리뷰] Weak convergence rates for Euler-type approximations of semilinear stochastic evolution equations with nonlinear diffusion coefficients

Arnulf Jentzen, Ryan Kurniawan|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 14.

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한 줄 요약

이 논문은 비선형 확산 계수를 가진 반선형 확률 진동 방정식(SEEs)에 대한 선형 은닉 오일러 유형 근사에 대해 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도를 확립한다. 이는 문헌에서 오랫동안 빈곤한 영역을 메우며, 미약한 이토 공식과 수치적 방법의 반선형 통합형 대응을 활용하여, 비선형성과 소음 계수에 대한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서 최적의 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

Strong convergence rates for time-discrete numerical approximations of semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the literature. Weak convergence rates for time-discrete numerical approximations of such SEEs have been investigated since about 12 years and are far away from being well understood: roughly speaking, no essentially sharp weak convergence rates are known for time-discrete numerical approximations of parabolic SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions; see Remark 2.3 in [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] for details. In the recent article [D. Conus, A. Jentzen & R. Kurniawan, Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients, arXiv:1408.1108] the weak convergence problem emerged from Debussche's article has been solved in the case of spatial spectral Galerkin approximations for semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. In this article we overcome the problem emerged from Debussche's article in the case of a class of time-discrete Euler-type approximation methods (including exponential and linear-implicit Euler approximations as special cases) and, in particular, we establish essentially sharp weak convergence rates for linear-implicit Euler approximations of semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. Key ingredients of our approach are applications of a mild It\^o type formula and the use of suitable semilinear integrated counterparts of the time-discrete numerical approximation processes.

연구 동기 및 목표

• 비선형 확산 계수를 가진 포물선 반선형 확률 진동 방정식(SEEs)의 시간 이산화 수치 근사에 대해 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도가 부족한 문제를 해결한다.
• Debussche(2011)에서 이러한 방정식에 대해 그러한 속도가 알려져 있지 않은 것으로 지적된 열린 문제를 해결한다.
• 비선형 확산을 포함한 SPDE의 맥락에서, 지수 및 선형 은닉 유형을 포함한 선형 은닉 오일러 계획에 대해 최적의 약한 수렴 속도를 확립한다.
• 파라볼릭 앤더슨 모델과 카인-힐리아르드-쿠크 유형 방정식을 포함한 광범위한 SPDE 클래스에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 제공한다.
• 얻어진 수렴 속도의 날카로움을 확인하기 위해 약한 오차의 상한과 하한을 모두 유도한다.

제안 방법

• 비마르코프 및 비선형 구조를 가진 SPDE에 적합한 스토크래틱 계산 도구를 도출하기 위해, 미약한 이토 유형 공식을 적용한다.
• 약한 오차 전파를 분석하기 위해 시간 이산 오일러 유형 계획의 반선형 통합형 대응을 도입한다.
• 진짜 해와 근사 해의 행동을 제어하기 위해 SPDE에 대한 강한 사전 추정치와 변형 경계를 사용한다.
• 통합 수치 과정의 약한 시간 정규성을 확립하여 약한 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 분산 추정치와 모멘트 경계를 조합하여 약한 오차의 하한을 도출하고, 속도의 날카로움을 확인한다.
• 약한 수렴을 기대값의 비선형 함수형으로 분석하기 위해 ϕ(v) = exp(−∥v∥²_H 형태의 테스트 함수를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 확산 계수를 가진 반선형 SPDE에 대한 선형 은닉 오일러 유형 근사의 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 Debussche(2011)에서 열려 있던 문제, 즉 비선형 확산의 경우 시간 이산화 계획에 대해 약한 수렴 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 유도된 약한 수렴 속도는 본질적으로 날카로운가, 그리고 하한을 통해 이를 확인할 수 있는가?
• RQ4 비선형 드리프트 및 확산 계수의 정규성과 적분 가능성은 약한 수렴 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 특정 테스트 함수를 사용하여 약한 오차를 하방으로 제한할 수 있으며, 이는 수렴 속도의 최적성과 일치하는가?

주요 결과

• 적절한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서, 비선형 확산 계수를 가진 반선형 SPDE에 대한 선형 은닉 오일러 근사에 대해 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도 h^(1/2 - ε)를 확립한다.
• 파라볼릭 앤더슨 모델과 선형 카인-힐리아르드-쿠크 유형 방정식의 경우, 하한을 통해 유도된 약한 수렴 속도가 최적이 됨을 보여준다.
• 테스트 함수 ϕ(v) = exp(−∥v∥²_H를 사용하여 약한 오차의 하한을 도출하였으며, 오차가 h^(1/2 - 2δ)의 양의 상수 배수로 아래에서 유계임을 보여준다. 여기서 δ < 1/4이다.
• 경계 조건가지 딜라클레 경계 조건을 가진 (0,1)에서 라플라스 연산자를 고려할 경우, 약한 수렴 속도는 δ < 1/4일 때 h^(1/2 - 2δ)이며, 하한은 T, δ 및 초기 자료에 의존하는 양의 상수에 비례하는 것으로 명시적으로 정량화된다.
• 분석을 통해 δ < 1/4일 때 약한 수렴 속도를 h^(1/2 - 2δ)를 초과하여 향상시킬 수 없음을 확인하여 상한의 날카로움을 입증한다.
• 반선형 통합 수치 과정을 도입하고 미약한 이토 해석학을 적용함으로써, 비선형 확산을 가진 SPDE의 약한 수렴 분석에서 발생하는 기술적 과제를 성공적으로 해결한다.