[논문 리뷰] Weak error estimates of the exponential Euler scheme for semi-linear SPDEs without Malliavin calculus

Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 추가된 노이즈를 가진 반선형 확률 편미분방정식(SPDEs)에 대해 지수 오일러 스킴을 적용한 약한 오차 분석을 제시하며, 마리아빈 미분학을 피하기 위해 새로운 약한 오차 표현 공식을 도입한다. 주요 기여는 비선형성에 대한 온건한 가정 하에 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 지수 오일러 시간 적분을 조합한 완전 이산화에서 약한 수렴 속도가 1임을 엄밀히 증명한 것이다.

ABSTRACT

This paper deals with the weak error estimates of the exponential Euler method for semi-linear stochastic partial differential equations (SPDEs). A weak error representation formula is first derived for the exponential integrator scheme in the context of truncated SPDEs. The obtained formula that enjoys the absence of the irregular term involved with the unbounded operator is then applied to a parabolic SPDE. Under certain mild assumptions on the nonlinearity, we treat a full discretization based on the spectral Galerkin spatial approximation and provide an easy weak error analysis, which does not rely on Malliavin calculus.

연구 동기 및 목표

• 추가 노이즈를 가진 반선형 SPDEs에 대한 지수 오일러 스킴의 약한 오차 추정을 제공하기 위해.
• 유계가 아닌 연산자 A와 관련된 불규칙한 항을 제거하는 약한 오차 표현 공식을 개발하기 위해.
• 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 지수 오일러 시간 적분을 조합한 완전 이산화의 약한 수렴을 확립하기 위해.
• 일반적으로 비선형 SPDEs의 불규칙한 항을 다루기 위해 필요로 하는 마리아빈 미분학에 의존하지 않기 위해.
• 비선형성 F에 대한 온건한 정규성 가정 하에 포물형 SPDEs로 분석을 확장하기 위해.

제안 방법

• 유계가 아닌 연산자 A와 관련된 불규칙한 항을 제거한, 잘라낸 SPDEs에 적용된 지수 오일러 스킴에 대한 약한 오차 표현 공식을 유도하기 위해.
• 스펙트럼 갈레르킨 공간 반이산화를 사용해 추가 노이즈가 있는 포물형 SPDE에 공식을 적용하기 위해.
• 약한 오차 분석을 단순화하기 위해 변환된 코모고로프 방정식 접근법을 사용하기 위해.
• 오차 추정을 용이하게 하기 위해 비선형성 F에 대한 선형화 기법을 도입하기 위해.
• 공간 및 시간 이산화에서 발생하는 오차 항을 유계하기 위해 이토의 공식과 트레이스 추정을 활용하기 위해.
• 공간 및 시간 이산화에서 발생하는 오차 항을 유계하기 위해 F에 대한 가정(가정 3.1)을 활용하기 위해. 이 가정은 차원 d=1,2,3에서 Nemytskij 연산자를 허용하며 오차 제어를 위한 충분한 정규성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마리아빈 미분학에 의존하지 않고 반선형 SPDEs에 대한 지수 오일러 스킴의 약한 오차 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 결합된 지수 오일러 스킴의 포물형 SPDEs에 대한 약한 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 약한 오차 분석에서 유계가 아닌 연산자 A와 관련된 불규칙한 항은 어떻게 제거하거나 제어할 수 있는가?
• RQ4 마리아빈 미분학 없이도 약한 수렴을 보장하기 위해 비선형성 F에 대해 어떤 가정이 충분한가?
• RQ5 완전 이산화(공간 및 시간 스킴의 조합)에 대해 약한 오차 분석을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 유계가 아닌 연산자 A와 관련된 불규칙한 항이 없는 약한 오차 표현 공식이 유도되어 분석이 간소화되었다.
• 스펙트럼 갈레르킨 공간 근사와 지수 오일러 시간 적분을 조합한 완전 이산화가 약한 수렴 속도 1을 달성한다.
• 오차 추정이 마리아빈 미분학에 의존하지 않아 비선형 SPDEs에서의 약한 오차 분석을 위한 새로운 길을 제시한다.
• 분석은 비선형성 F의 선형화와 적절한 가정(가정 3.1)에 기반하며, 이 가정은 d=1,2,3 차원에서 Nemytskij 연산자를 포함하고 오차 제어에 필요한 정규성을 보장한다.
• 공간 약한 오차는 C(λ_N)^{-β+ε}로 유계되며, 시간 오차는 변환된 코모고로프 방정식 접근법을 통해 제어된다.
• 전반적인 약한 오차 추정은 매개변수 K에 독립적이므로 분석에서 균일한 유계를 확보할 수 있다.