[논문 리뷰] Weakly nonlinear analysis of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation arising from pension savings management

Zuzana Macova, Daniel Ševčovič|ArXiv.org|2009. 05. 01.

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance참고 문헌 3인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 퇴직연금 저축을 위한 최적의 동적 자산 배분을 위해 해밀턴-자코비-벨리만(Hamilton-Jacobi-Bellman, HJB) 방정식에 대한 약한 비선형 분석을 개발하며, 점근적 전개와 경계를 사용하여 최적의 주식 대 채권 비율을 근사한다. 주요 기여는 민감도 분석과 이산 시간 모델에 대한 검증을 가능하게 하는 최적 전략에 대한 일阶 해석적 근사이다. 수치 결과는 슬로바키아 및 불가리아 퇴직연금 제도에서 각각 최종 연봉의 5.2배와 8.1배에 해당하는 누적 자산을 얻는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to analyze solutions to a fully nonlinear parabolic equation arising from the problem of optimal portfolio construction. We show how the problem of optimal stock to bond proportion in the management of pension fund portfolio can be formulated in terms of the solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. We analyze the solution from qualitative as well as quantitative point of view. We construct useful bounds of solution yielding estimates for the optimal value of the stock to bond proportion in the portfolio. Furthermore we construct asymptotic expansions of a solution in terms of a small model parameter. Finally, we perform sensitivity analysis of the optimal solution with respect to various model parameters and compare analytical results of this paper with the corresponding known results arising from time-discrete dynamic stochastic optimization model.

연구 동기 및 목표

• 퇴직연금 저축에서 최적의 포트폴리오 선택 문제를 완전히 비선형인 포물형 HJB 방정식으로 공식화하기.
• 약한 비선형 가정 하에 HJB 방정식의 해에 대한 해석적 경계와 점근적 전개를 유도하기.
• 모델 파라미터에 대한 최적 주식 대 채권 비율의 민감도 분석 수행하기.
• 연속 시간 해석 결과를 기존의 알려진 이산 시간 동적 확률 최적화 모델과 검증하기.
• 퇴직기금 운용에서 최적 투자 전략에 대한 실용적인 근사 방법 제공하기.

제안 방법

• 최종 조건 $ V(T,y) = U(y) $를 갖는 완전히 비선형 포물형 HJB 방정식으로 최적 자산 배분 문제를 공식화하며, 여기서 $ U $ 는 오목하고 유계이며 증가하는 효용 함수이다.
• 작은 매개수 $ \varepsilon $ 의 거듭제곱 전개를 통해 약한 비선형 분석을 적용하여 가치 함수와 최적 제어에 대한 일계 점근적 근사를 도출한다.
• 해밀토니안에 대한 일계 조건을 통해 최적 제어 $ \theta^* $ 를 유도하며, 이는 $ A_\varepsilon $ 와 $ B^2 $ 의 $ \theta $ 에 대한 도함수 비율을 포함하는 은근한 방정식이 된다.
• 주어진 가정 하에 기댓값과 분산 계수의 단조성 및 볼록성 성질을 이용하여 해에 대한 경계를 구성한다.
• 최적 전략 하에서 재산 과정 $ y_t $ 의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 해석 결과를 수치적으로 검증한다.
• 기존 연구에서 얻은 이산 시간 동적 프로그래밍 모델과 연속 시간 해석 결과를 비교하여 최적 주식 대 채권 비율 $ \hat{\theta}(t,y) $ 의 차이를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 비선형 방법을 사용하여 퇴직연금 저축 포트폴리오의 최적 주식 대 채권 비율을 어떻게 해석적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 동적 퇴직기금 운용에서 발생하는 완전히 비선형 HJB 방정식의 해에 대한 경계와 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ3 위험 회피 정도 및 작은 매개수 $ \varepsilon $ 와 같은 모델 파라미터의 변화에 대해 최적 전략은 얼마나 민감한가?
• RQ4 연속 시간 HJB 모델의 해석 결과는 이산 시간 동적 확률 최적화 모델의 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 다른 $ \varepsilon $ 값(예: 슬로바키아의 0.09, 불가리아의 0.14)이 퇴직 시 기대 누적 자산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• HJB 방정식의 해에 대한 점근적 전개는 최적 전략의 모델 파라미터에 대한 의존성에 대한 정성적 분석을 가능하게 하는 일계 근사를 도출한다.
• 최적 주식 대 채권 비율 $ \hat{\theta}(t,y) $ 는 제어 $ \theta $ 에 대한 기댓값과 분산 계수의 도함수에 의존하는 함수 $ G $ 의 역함수를 통해 은근하게 유도된다.
• 슬로바키아 퇴직연금 제도($ \varepsilon = 0.09 $)의 경우, 퇴직 시 기대 누적 자산은 최종 연봉의 약 5.2배이다.
• 불가리아 퇴직연금 제도($ \varepsilon = 0.14 $)의 경우, 기대 누적 자산은 약 8.1배이며, 이는 높은 $ \varepsilon $ 가 저축 성과에 상당한 영향을 미친다는 것을 시사한다.
• 연속 시간 모델과 이산 시간 모델 간의 최적 비율 $ \hat{\theta}(t,y) $ 의 최대 차이는 $ t=1 $, $ y \approx 1.3 $ 에서 발생하며 약 0.33로, 강한 정성적 일치를 보여준다.
• HJB 방정식을 해석하기 위해 사용된 수치적 방법은 이阶 수렴성을 보이며, CRRA 가족을 초월한 더 넓은 범위의 효용 함수에 적용 가능하다.