[논문 리뷰] Weighted equilibrium states for factor maps between subshifts

De‐Jun Feng|ArXiv.org|2009. 09. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약한 사양 조건 하에서 부분이드 사이의 팩터 사상에 대해 가중 평형 상태의 존재성과 유일성을 확립하며, 고전적 평형 상태 이론을 일반화한다. 연속 함수 $ f $ 가 부분이드 $ X $ 에서 정의되고 팩터 사상 $ \pi: X \to Y $ 가 있을 때, $ \mu(f) + a_1 h_\mu(\sigma_X) + a_2 h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ 를 최대화하는 유일한 $ \sigma_X $-불변 측도가 존재함을 증명하며, Gatzouras와 Peres가 제기한 가중 엔트로피 최대화에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $π:X o Y$ be a factor map, where $(X,σ_X)$ and $(Y,σ_Y)$ are subshifts over finite alphabets. Assume that $X$ satisfies weak specification. Let $\ba=(a_1,a_2)\in \R^2$ with $a_1>0$ and $a_2\geq 0$. Let $f$ be a continuous function on $X$ with sufficient regularity (Hölder continuity, for instance). We show that there is a unique shift invariant measure $μ$ on $X$ that maximizes $μ(f)+a_1h_μ(σ_X)+ a_2h_{μ\circ π^{-1}}(σ_Y)$. In particular, taking $f\equiv 0$ we see that there is a unique invariant measure $μ$ on $X$ that maximizes the weighted entropy $a_1h_μ(σ_X)+ a_2h_{μ\circ π^{-1}}(σ_Y)$. This answers an open question raised by Gatzouras and Peres in \cite{GaPe96}. An extension is also given to high dimensional cases. As an application, we show the uniqueness of invariant measures with full Hausdorff dimension for certain affine invariant sets on the $k$-torus under a diagonal endomorphism.

연구 동기 및 목표

• 부분이드 사이의 팩터 사상에 대해 가중 엔트로피 $ h_\mu(\sigma_X) + \alpha h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ 를 최대화하는 불변 측도의 유일성에 관한 Gatzouras와 Peres의 열린 문제를 해결하기 위해.
• 팩터 사상을 통한 다중 부분이드에서의 측도론적 엔트로피의 가중 조합에 대해 평형 상태 이론을 확장하기 위해.
• 연속 잠재력과 다중 엔트로피 항의 조합을 포함하는 함수를 최대화하는 유일한 불변 측도가 존재하는 조건을 설정하기 위해.
• 결과를 토러스 위의 애핀 불변 집합에서 풀 하우스도르프 차원을 가진 불변 측도의 유일성에 적용하기 위해.

제안 방법

• 부분합의 유계 변동성을 가지는 함수의 클래스 $ V(\sigma_{X_1}) $ 를 사용하여 관련된 가역 잠재력의 정규성을 확보한다.
• 실린더 집합 위에서 $ \phi(I) = \sup_{x \in [I]} \exp(S_n f(x)) $ 를 만족하는 함수 $ \phi $ 를 구성함으로써, 가중 평형 상태 문제를 가역 잠재력 프레임워크로 환원한다.
• 팩터 사상의 사슬 $ X_1 \to X_2 \to \cdots \to X_k $ 에 대해 재귀적 귀납법을 적용하여 각 단계에서 가중 평형 상태의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 고차 블록 표현을 사용하여 일반적인 팩터 사상을 일차 블록 사상으로 환원하며, 약한 사양 조건을 유지하고 분석을 단순화한다.
• 가중 위상 압력과 가중 엔트로피 기능의 상한 사이의 관계를 설정하기 위해 변동 원리를 적용한다.
• 약한 사양 성질을 통해 측도 재귀성에 대한 혼합형 하한을 확립하여, 최대화 측도의 유일성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 사양 조건을 만족하는 부분이드 $ X $ 와 팩터 사상 $ \pi: X \to Y $ 가 있을 때, $ a_1 h_\mu(\sigma_X) + a_2 h_{\mu \circ \pi^{-1}}(\sigma_Y) $ 를 최대화하는 유일한 불변 측도가 존재하는가?
• RQ2 Bowen의 고전적 평형 상태 유일성 결과는 팩터 사상을 통해 다중 부분이드의 엔트로피 가중 조합으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 약한 사양 조건을 만족하는 부분이드에서 연속 잠재력과 다중 엔트로피 항의 조합을 포함하는 함수를 최대화하는 유일한 불변 측도가 존재하는가?
• RQ4 가중 평형 상태의 유일성은 토러스 위의 자기 애핀 집합에서 풀 하우스도르프 차원을 가진 불변 측도의 유일성을 암시하는가?
• RQ5 이론은 $ k \geq 2 $ 개의 부분이드와 그 사이의 팩터 사상으로 이루어진 사슬으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ f \in V(\sigma_{X_1}) $ 와 $ \mathbf{a} = (a_1, \dots, a_k) $ 에 대해 $ a_1 > 0 $, $ a_i \geq 0 $ 를 만족할 때, $ \mu(f) + \sum_{i=1}^k a_i h_{\mu \circ \tau_{i-1}^{-1}}(\sigma_{X_i}) $ 를 최대화하는 유일한 $ \mathbf{a} $-가중 평형 상태 $ \mu $ 가 존재한다.
• 유일한 평형 상태 $ \mu $ 는 에르고딕이며, 가측 집합에 대한 재귀성에 대해 균일한 하한을 만족한다: 어떤 $ c > 0 $ 에 대해 $ \liminf_{n \to \infty} \sum_{i=0}^p \mu(A \cap \sigma^{-n-i} B) \geq c \mu(A)\mu(B) $.
• 만약 $ X_1 $ 가 사양 조건(약한 사양이 아닌)을 만족한다면, $ \mu $ 는 더 강력한 혼합형 하한 $ \liminf_{n \to \infty} \mu(A \cap \sigma^{-n} B) \geq c \mu(A)\mu(B) $ 를 만족한다.
• 만약 $ f \equiv 0 $ 이라면, $ \sum_{i=1}^k a_i h_{\mu \circ \tau_{i-1}^{-1}}(\sigma_{X_i}) $ 를 최대화하는 유일한 측도가 존재하며, 이는 Gatzouras와 Peres의 열린 문제를 해결한다.
• 결과는 대각 선형변환을 통한 $ k $-토러스 위의 자기 애핀 시에르핀스키スポ이드에 적용되며, 풀 하우스도르프 차원을 가진 불변 측도의 유일성을 보장한다.
• 일방향 및 이방향 부분이드 모두에 대해, 일방향 투영과 표준 코딩 사상 $ \Gamma_i $ 를 통한 측도 전달을 통해 이론이 확장된다.