[논문 리뷰] Well-posedness and tamed Euler schemes for McKean-Vlasov equations driven by Lévy noise

Neelima Neelima, Sani Biswas외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 39인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 초선형 성장과 무한한 Lévy 측도를 포함한 미묘한 조건 하에서 Lévy 소음에 의해 구동되는 McKean–Vlasov SDE에 대해 잘 정의됨을 확립한다. 또한 관련 입자 시스템을 위한 tamed Euler 스킴을 도입하여 강한 수렴 속도가 1/2에 임의로 가까운 것을 증명하며, 지연과 마코프 스위칭 SDE로의 확장도 포함된다.

ABSTRACT

We prove the well-posedness of solutions to McKean-Vlasov stochastic differential equations driven by Lévy noise under mild assumptions where, in particular, the Lévy measure is not required to be finite. The drift, diffusion and jump coefficients are allowed to be random, can grow super-linearly in the state variable, and all may depend on the marginal law of the solution process. We provide a propagation of chaos result under more relaxed conditions than those existing in the literature, and consistent with our well-posedness result. We propose a tamed Euler scheme for the associated interacting particle system and prove that the rate of its strong convergence is arbitrarily close to $1/2$. As a by-product, we also obtain the corresponding results on well-posedness, propagation of chaos and strong convergence of the tamed Euler scheme for McKean-Vlasov stochastic delay differential equations (SDDE) and McKean-Vlasov stochastic differential equations with Markovian switching (SDEwMS), both driven by Lévy noise. Furthermore, our results on tamed Euler schemes are new even for ordinary SDEs driven by Lévy noise and with super-linearly growing coefficients.

연구 동기 및 목표

• 초선형 성장 계수와 무한한 Lévy 측도를 포함한 최소한의 가정 하에서 Lévy 소음에 의해 구동되는 McKean–Vlasov SDE의 잘 정의됨을 확립하기.
• 이전에 알려진 것보다 더 엄격하지 않은 조건으로 확산의 혼합성 결과를 확장하여 잘 정의됨 프레임워크와 일관되게 하기.
• 상호작용 입자 시스템 근사에 대해 tamed Euler 스킴을 개발하고 분석하여 강한 수렴을 보장하기.
• 지연과 마코프 스위칭을 포함한 McKean–Vlasov SDE에 대해 tamed Euler 스킴 결과를 일반화하기.
• 일반적인 SDE의 경우조차도 Lévy 소음과 초선형 계수를 가진 SDE의 맥락에서 tamed Euler 스킴에 대한 첫 번째 수렴 속도 분석을 제공하기.

제안 방법

• 초선형 성장과 확률적 의존성을 允허하는 드리프트, 확산 및 점프 계수에 대한 미묘한 조건 하에서 McKean–Vlasov SDE의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 폭발적 성장을 제어하기 위해 드리프트 및 점프 항을 잘라내어 입자 시스템 근사에 대해 tamed Euler 스킴을 적용한다.
• Itô의 공식과 사전 모멘트 추정을 사용하여 tamed 스킴의 안정성 한계를 도출하며, 다항식 성장이 있는 리아푸노프 유형 함수에 의존한다.
• 비마코프 성질과 비균일 적분 가능성을 다루기 위해 시간 간격 $[\ell\tau, (\ell+1)\tau]$ 상에서 국소화 기법을 적용한다.
• 결합 기법과 모멘트 제어를 통해 확산의 혼합성을 확립하여 입자 시스템의 경험적 측도가 해의 법칙으로 수렴함을 보인다.
• 홀더 부등식과 이산화 오차의 모멘트 추정을 사용하여 수렴 속도를 유도하며, 고차 모멘트를 제어하기 위해 taming 메커니즘을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수의 초선형 성장과 무한한 Lévy 측도를 가진 Lévy 소음에 의해 구동되는 McKean–Vlasov SDE가 유일한 강한 해를 가지기 위한 최소 조건은 무엇인가?
• RQ2 계수가 리프시츠 조건을 만족하지 않더라도 더 약한 성장 및 적분 가능성 조건을 만족할 경우, 확산의 혼합성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ3 Lévy 소음과 초선형 계수를 가진 McKean–Vlasov SDE의 입자 시스템 근사에 대해 tamed Euler 스킴의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 동일한 계수 가정 하에 지연 또는 마코프 스위칭을 포함한 McKean–Vlasov SDE에 대해 tamed Euler 스킴을 적응 및 분석할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 SDE의 경우조차도 Lévy 소음과 초선형 드리프트를 가진 SDE의 맥락에서 tamed 스킴의 수렴 결과가 새로운가?

주요 결과

• 초선형 성장과 무한한 Lévy 측도를 포함한 미묘한 조건 하에서 Lévy 소음에 의해 구동되는 McKean–Vlasov SDE의 잘 정의됨이 확립된다.
• 초선형 드리프트 및 확산 계수와 무한한 Lévy 측도를 允허하는 조건 하에서 확산의 혼합성 결과가 유지된다.
• 입자 시스템에 대한 tamed Euler 스킴은 강한 수렴 속도가 $1/2$에 임의로 가까운 $\text{rate} = \frac{1}{2} - \epsilon$ (모든 $\epsilon > 0$) 를 달성한다.
• 수렴 속도 결과는 시간 지연과 마코프 스위칭을 포함한 McKean–Vlasov SDE로 확장된다.
• tamed Euler 스킴은 일반적인 SDE의 경우에도 Lévy 소음과 초선형 계수를 가진 SDE에 대해 첫 번째 수렴 속도 결과를 제공하며, 이는 새로운 기여이다.
• 분석은 모멘트 추정과 시간 간격에 대한 국소화에 기반하며, 오차 추정은 홀더 부등식과 tamed 계수의 적분 가능성에 의해 제어된다.