[논문 리뷰] Well-posedness of distribution dependent SDEs with singular drifts

Michael Röckner, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 적분 가능성 및 리프시츠 연속성 조건 하에서 특이한 비율 이르기까지 분포에 의존하는 SDE에 대해 강한 잘 정의됨을 확립한다. Krylov-Röckner의 결과를 Zvonkin의 변환과 밀리신 미적분을 사용하여 McKean-Vlasov(평균장) 설정으로 확장한다. 주요 기여는 공간에서 국소적 $ L^p $-적분 가능성 조건을 만족하는 비율이 있을 때 강해해가 존재하고 유일함을 보이는 것이다. $ \frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1 $.

ABSTRACT

Consider the following distribution dependent SDE: $$ {\mathrm d} X_t=σ_t(X_t,μ_{X_t}){\mathrm d} W_t+b_t(X_t,μ_{X_t}){\mathrm d} t, $$ where $μ_{X_t}$ stands for the distribution of $X_t$. In this paper for non-degenerate $σ$, we show the strong well-posedness of the above SDE under some integrability assumptions in the spatial variable and Lipschitz continuity in $μ$ about $b$ and $σ$. In particular, we extend the results of Krylov-Röckner \cite{Kr-Ro} to the distribution dependent case.

연구 동기 및 목표

• 특이(비리프시츠) 비율을 가진 분포에 의존하는 SDE에 대해 강한 잘 정의됨 결과가 부족한 문제를 다룬다.
• 특이 비율을 가진 SDE에 대한 Krylov-Röckner 프레임워크를 분포에 의존하는(McKean-Vlasov) 경우로 확장한다.
• 공간에서의 적분 가능성과 분포적 인자에서의 리프시츠 연속성 조건 하에서 강해해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 초수합 원리( superposition principle )를 통해 비선형 Fokker-Planck 방정식의 잘 정의됨에 대한 엄밀한 기초를 제공한다.
• 공간에서 특이하지만 국소적 $ L^p $-의미에서 적분 가능한 비율을 允허하는 기존 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 비율이 특이한 SDE를 정규화하기 위해 Zvonkin의 변환을 적용하고, 확산 계수의 비특이성(비퇴화성)을 활용한다.
• Krylov의 사전 추정치와 밀리신 미적분을 사용하여 전이 밀도의 정규성과 강한 유일성을 보장한다.
• 초수합 원리를 사용하여 SDE의 잘 정의됨과 비선형 Fokker-Planck 방정식의 잘 정의됨을 연결한다.
• 국소적 $ \widetilde{L}^p $-공간 프레임워크를 사용하여 전역적으로 적분 가능하지 않은 특이 비율을 다룬다.
• 관련 Fokker-Planck 연산자의 이중측 열화핵 경계를 사용하여 해의 밀도에 대한 사전 추정치를 확립한다.
• 적절한 함수 공간에서 고정점 원리를 사용하여 제시된 조건 하에서 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비율이 공간에서 특이하지만 국소적 $ L^p $-적분 가능성 조건을 만족할 경우, 분포에 의존하는 SDE에 대해 강한 잘 정의됨을 확립할 수 있는가?
• RQ2 비율이 측도 인자에서 리프시츠 연속성을 만족할 경우, Krylov-Röckner 접근법이 McKean-Vlasov(분포에 의존하는) 설정으로 확장되는가?
• RQ3 이러한 SDE와 관련된 비선형 Fokker-Planck 방정식이 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ4 특이 비율 영역에서 초수합 원리를 사용하여 SDE의 해와 비선형 Fokker-Planck 방정식의 해를 연결할 수 있는가?
• RQ5 제시된 가정 하에서 SDE의 해의 전이 밀도가 매끄럽고 양방향 가우시안 유형 경계를 갖는가?

주요 결과

• 조건 $ \frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1 $ 하에서, $ b_t(x,y) \leq h_t(x-y) $ 이고 $ h \in L^q_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; \widetilde{L}^p(\mathbb{R}^d)) $ 일 때, 분포에 의존하는 SDE에 대해 강한 잘 정의됨이 확립된다.
• 해는 두 방향 가우시안 경계를 만족하는 매끄러운 밀도를 갖는다: $ c_0^{-1}(t-s)^{-d/2} e^{-\gamma_0|x-y|^2/(t-s)} \leq \rho_{b^\mu}(s,x;t,y) \leq c_0(t-s)^{-d/2} e^{-|x-y|^2/(\gamma_0(t-s))} $.
• 밀도에 대한 기울기 추정치를 확보한다: $ |\nabla_x \rho_{b^\mu}(s,x;t,y)| \leq c_1(t-s)^{-(d+1)/2} e^{-|x-y|^2/(\gamma_1(t-s))} $.
• 발산이 0인 조건 $ \text{div}\, b \equiv 0 $ 하에서 밀도는 대칭 성질을 만족한다: $ \rho_{b^\mu}(s,x;t,y) = \rho_{-b^\mu}(s,y;t,x) $.
• 초수합 원리를 통해 동일한 조건 하에서 비선형 Fokker-Planck 방정식 (1.2)의 해가 유일함이 보장된다.
• 기존의 고전적 Krylov-Röckner 이론이 비리프시츠 및 특이 비율을 비파괴적으로 다룰 수 있도록 분포에 의존하는 경우로 확장된다.