[논문 리뷰] Windowed quantum arithmetic

Craig Gidney|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 윈도우드드된 양자 산술을 소개한다. 이 기법은 제어 연산의 그룹화를 통해 양자 회로에서 Toffoli 수를 줄이기 위해 고전적 테이블 룩업을 사용한다. 소수의 윈도우에 대한 결과를 사전에 계산함으로써(예: 모듈로 지수화나 곱셈에서와 같이), 실용적인 큐비트 크기(수십에서 수천 큐비트)에서 이전 방법보다 낮은 자원 소비를 달성한다. 이는 고전적 사전 계산 비용이 높다는 점을 감안할 때도 성립한다.

ABSTRACT

We demonstrate a technique for optimizing quantum circuits that is analogous to classical windowing. Specifically, we show that small table lookups can allow control qubits to be iterated in groups instead of individually. We present various windowed quantum arithmetic circuits, including a windowed modular exponentiation with nested windowed modular multiplications, which have lower Toffoli counts than previous work at register sizes ranging from tens of qubits to thousands of qubits.

연구 동기 및 목표

• 고전 컴퓨팅에서 연산 수를 줄이기 위해 사용되는 고전적 윈도우 기법을 양자 영역으로 확장한다.
• 모듈로 지수화 및 고전적 상수를 사용한 곱셈과 같은 양자 산술 회로에서 Toffoli 수를 줄인다.
• 실용적인 레지스터 크기(수십에서 수천 큐비트)에서 윈도우드드된 양자 산술이 이전 방법보다 Toffoli 수 측면에서 뛰어나다는 것을 입증한다.
• 예를 들어 모듈로 지수화 내부의 윈도우드드된 모듈로 곱셈과 같은 중첩된 윈도우 최적화의 가능성과 효율성을 탐색한다.
• 결함 내성 양자 컴퓨팅에서 고전적 사전 계산 비용과 양자 자원 절감 사이의 트레이드오프를 평가한다.

제안 방법

• 양자 레지스터로 인덱싱되는 작은 고전적 테이블 룩업을 사용해 제어 연산의 시퀀스를 대체한다.
• 지수의 비트 블록(예: 반복 제곱 연산 20회)에 대한 결과를 사전 계산함으로써 모듈로 지수화에 윈도우 기법을 적용한다.
• 측정 기반의 언컴퓨팅을 사용해 테이블 룩업을 뒤집는 데 O(√L)의 Toffoli 수를 사용함으로써 O(L) 대비 비용을 줄이며, 자원 재사용을 효율적으로 가능하게 한다.
• 윈도우드드된 곱셈과 윈도우드드된 지수화를 조합해 중첩 최적화를 구현함으로써 전체 회로 깊이와 Toffoli 수를 감소시킨다.
• Q#로 구현하고 추적 시뮬레이터를 사용해 윈도우드드된, 스쿨북, 카라츠바 곱셈 방법 간의 Toffoli 수를 비교하기 위해 벤치마크를 수행한다.
• 주소 레지스터의 유니어리 인코딩을 사용해 언컴퓨팅 중에 제어된 위상 보정을 가능하게 하여 Toffoli 오버헤드를 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 윈도우 기법이 양자 회로의 깊이와 Toffoli 수를 줄이는데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 실용적인 큐비트 크기에서 윈도우드드된 양자 산술의 Toffoli 수가 스쿨북 및 카라츠바 곱셈과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 결함 내성 양자 회로에서 고전적 사전 계산 비용과 양자 자원 절감 사이의 트레이드오프는 어떠한가?
• RQ4 예를 들어 모듈로 지수화 내부의 윈도우드드된 곱셈과 같은 중첩 윈도우 기법이 회로 효율성 향상에 상당한 기여를 할 수 있는가?
• RQ5 양자 산술에서 윈도우 기법이 효과적인 조건는 무엇이며, 언제 실패하는가(예: 모든 피연산자가 양자 레지스터일 경우)?

주요 결과

• 레지스터 크기가 수십에서 수천 큐비트 범위일 때 윈도우드드된 양자 산술은 이전 방법보다 낮은 Toffoli 수를 달성한다.
• 고전적 사전 계산 비용이 높음에도 불구하고, 사전에 계산된 테이블 룩업을 통해 다수의 제어 곱셈을 저장함으로써 Toffoli 수를 줄인다.
• 실용적인 크기에서는 카라츠바 곱셈의 더 나은 渐近적 스케일링에도 불구하고, 윈도우드드된 곱셈이 스쿨북 및 카라츠바 곱셈보다 Toffoli 수 측면에서 뛰어나다.
• 중첩된 윈도우드드된 모듈로 지수화 회로는 윈도우드드된 모듈로 곱셈을 사용해 전체 자원 소비를 줄이며, 윈도우 크기를 √(n)로 설정할 경우 Toffoli 복잡도가 O(nen² / log²n)가 된다.
• 측정 기반의 언컴퓨팅은 테이블 룩업을 뒤집는 데 O(√L)의 Toffoli 수를 사용함으로써, 계산 비용에 비해 뒤집기 비용이 무시할 만큼 낮아진다.
• 이 방법은 곱셈의 상수 요소가 고전적일 경우에 가장 효과적이며, 모든 피연산자가 양자 레지스터일 경우에 실패한다.