[논문 리뷰] Worst-Case Results For Positive Semidefinite Rank

João Gouveia, Richard Z. Robinson외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 20.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비음수 행렬, 특히 다면체의 슬랙 행렬에 대한 양의 정부호(positive semidefinite, psd) 랭크에 대한 새로운 최악의 경우 경계를 설정한다. 일반적인 $n$-차원 다면체가 $v$개의 꼭짓점을 가질 경우 psd 랭크는 최소 $(nv)^{1/4}$ 이상이며, 다각형의 경우 psd 랭크는 $4\lceil v/6 \rceil$ 이하이다. 또한 고정된 랭크일 때 psd 랭크를 결정하는 데 다항시간 알고리즘이 존재한다.

ABSTRACT

This paper presents various worst-case results on the positive semidefinite (psd) rank of a nonnegative matrix, primarily in the context of polytopes. We prove that the psd rank of a generic n-dimensional polytope with v vertices is at least (nv)^(1/4) improving on previous lower bounds. For polygons with v vertices, we show that psd rank cannot exceed 4ceil(v/6) which in turn shows that the psd rank of a p by q matrix of rank three is at most 4ceil(min{p,q}/6). In general, a nonnegative matrix of rank (k+1 choose 2) has psd rank at least k and we pose the problem of deciding whether the psd rank is exactly k. Using geometry and bounds on quantifier elimination, we show that this decision can be made in polynomial time when k is fixed.

연구 동기 및 목표

• 비음수 행렬, 특히 다면체의 슬랙 행렬에 대한 양의 정부호(positive semidefinite, psd) 랭크에 대한 날카로운 최악의 경우 하한을 설정하는 것.
• 다면체의 차원 $n$과 꼭짓점 수 $v$를 고려해 기존의 psd 랭크 하한을 향상시키는 것.
• 특히 랭크가 $\binom{k+1}{2}$인 다각형과 낮은 랭크를 가진 행렬에 대해 psd 랭크의 상한을 도출하는 것.
• 고정된 $k$일 때 행렬의 psd 랭크가 정확히 $k$인지 여부를 결정하는 다항시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 스펙트라헤드랄 표현과 양자자기 제거를 통해 psd 랭크를 기하학적 및 대수기하학적 타당성 문제와 연결하는 것.

제안 방법

• 차원 수세기와 기하학적 추론을 사용하여 일반적인 $n$-차원 다면체가 $v$개의 꼭짓점을 가질 경우 psd 랭크에 대해 $(nv)^{1/4}$의 하한을 도출한다.
• 지지 기반의 추론과 조합론적 경계를 적용하여 $v$개의 꼭짓점을 가진 다각형의 psd 랭크가 $4\lceil v/6 \rceil$ 이하임을 보인다.
• psd 랭크 $k$를 결정하는 문제를 대칭 행렬 공간에서의 선형 행렬부등식(LMI)을 포함하는 반대칭 기하학적 타당성 문제로 환원한다.
• 대칭 행렬 공간 간의 선형 사상 $\pi$를 통해 psd 분해를 표현하고, 기본 대칭 다항식 기저를 사용하여 문제를 $\mathbb{R}^{d}$에 표현하며 $d = \binom{k+1}{2}$로 놓는다.
• 기하학적 조건 $P \subseteq \pi(\mathcal{S}_+^k) \subseteq Q$를 $L$과 $K = L^{-1}$에 대한 $k \times k$ 선형 행렬부등식 시스템으로 변환하여 $Ku_i$와 $v_j^T L$의 양성 보장.
• 실수 위에서의 양자자기 제거에 대한 Renegar의 복잡도 결과를 적용하여 psd 랭크 결정 문제가 $d = \binom{k+1}{2}$일 때 $(pq)^{O(d^{2.5})}$ 시간 내에 해결 가능함을 보이며, $pq$에 대해 다항시간임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 $n$-차원 다면체가 $v$개의 꼭짓점을 가질 경우 psd 랭크에 대한 최악의 경우 하한은 무엇인가요?
• RQ2 다각형이 $v$개의 꼭짓점을 가질 경우 tight한 상한을 설정할 수 있는가요?
• RQ3 비음수 행렬이 랭크 $\binom{k+1}{2}$를 가질 경우 그 psd 랭크는 정확히 $k$인가요?
• RQ4 고정된 $k$일 때 행렬의 psd 랭크가 $k$인지 여부를 다항시간에 결정할 수 있는가요?
• RQ5 스펙트라헤드랄 표현을 통해 psd 랭크 문제를 어떻게 반대칭 기하학적 타당성 문제로 환원할 수 있는가요?

주요 결과

• 일반적인 $n$-차원 다면체가 $v$개의 꼭짓점을 가질 경우 psd 랭크는 최소 $(nv)^{1/4}$ 이상이며, 이는 이전의 하한보다 크게 향상된 것이다.
• 다각형이 $v$개의 꼭짓점을 가질 경우 psd 랭크는 $4\lceil v/6 \rceil$ 이하이며, 이는 랭크 3인 $p \times q$ 행렬의 psd 랭크가 최대 $4\lceil \min\{p,q\}/6 \rceil$ 이하임을 의미한다.
• 랭크 $\binom{k+1}{2}$를 가진 비음수 행렬의 psd 랭크는 최소 $k$ 이상이며, 본 논문은 psd 랭크가 정확히 $k$인지 여부를 제기한다.
• 고정된 $k$일 경우 실수 위에서의 양자자기 제거를 통해 psd 랭크 결정 문제는 다항시간 내에 해결 가능하다.
• psd 랭크 결정 문제는 $O(d^2)$개의 변수와 $O(d^2)$개의 차수 최대 $k$인 다항식 부등식을 포함하는 반대칭 기하학적 시스템으로 환원되며, $d = \binom{k+1}{2}$일 때 시간 복잡도 $(pq)^{O(d^{2.5})}$ 내에 해결 가능하다.
• 이 결과는 Moitra의 비음수 행렬 분해 알고리즘에 대한 psd 버전을 제공하며, 고정된 랭크일 경우 psd 랭크가 다항시간 내에 계산 가능하다는 것을 보여준다.