[논문 리뷰] Yoneda lemma for enriched infinity categories

Vladimir Hinich|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 풍부화된 ∞-카테고리에 대한 요나다 렘마를 풍부화된 쿼버의 모나이드 카테고리로 설정하여, 이 카테고리 내의 결합 대수들이 풍부화된 ∞-카테고리에 대응함을 보여준다. 이 맥락에서 요나다 렘마를 증명하고, 특히 enriching 카테고리가 곱 구조를 지닐 때, 고차 ∞-카테고리에서의 대응관계를 연구하는 데 응용한다.

ABSTRACT

We continue the study of enriched infinity categories, using a definition equivalent to that of Gepner and Haugseng. In our approach enriched infinity categories are associative monoids in an especially designed monoidal category of enriched quivers. We prove that, in case the monoidal structure in the basic category M comes from direct product, our definition is essentially equivalent to the approach via Segal objects. Furthermore, we compare our notion with the notion of category left-tensored over M, and prove a version of Yoneda lemma in this context. Version 2: An error in 2.6.2 corrected. Version 3: a few minor corrections. Version 4: Section 8 added, describing correspondences of enriched categories. In case the basic monoidal category M is a prototopos with a cartesian structure, we prove that the category of correspondences is equivalent to the category of enriched categories over [1]. Version 5: terminology changed (former bicartesian fibrations became bifibrations), a few misprints corrected. Version 6: Section 2.11 added, dealing with operadic sieves. A number of corrections and clarifications made per referee's request. Version 7: final version, accepted to Advances in Math. Version 8: a minor correction of 2.8.9-2.8.10.

연구 동기 및 목표

• 풍부화된 쿼버의 모나이드 카테고리 내의 결합 대수를 통해 모델에 종속되지 않는 풍부화된 ∞-카테고리의 프레임워크를 개발한다.
• 모나이드 ∞-카테고리 M에 대해 풍부화된 ∞-카테고리의 맥락에서 요나다 렘마를 수립한다. 특히 M가 곱 구조를 지닐 경우를 중심으로 한다.
• 제안된 정의를 세갈 타입의 정의와 M에 대해 왼쪽 텐서링된 카테고리와 비교한다.
• 요나다 렘마를 풍부화된 ∞-카테고리 간의 대응관계 연구에 적용하며, 특히 고차 카테고리적 및 유도 기하학적 맥락에서 중점을 둔다.

제안 방법

• 풍부화된 쿼버의 모나이드 카테고리 내의 결합 대수로 풍부화된 ∞-카테고리를 정의한다. 이는 평면적 평탄한 작도와의 텐서곱에 대한 우측 수반을 통해 구성된다.
• 쿼버를 주어진 객체 공간을 갖도록 정의하기 위해 $Φ_{\text{Ass}}$ 작도를 사용하며, 게프너-하우젠그의 접근을 일반화한다.
• 쿼버 위에 왼쪽 및 오른쪽 작용을 모델링하기 위해 $Φ_{\text{BM}}$-작도 구조를 도입함으로써, 함자와 모듈러 구조의 정의를 가능하게 한다.
• 특정 다이어그램(카르테시안 다이어그램의 일반화)을 보존하는 함자를 담는 카테고리를 구성한다. 이는 요나다 조건을 암시한다.
• 우측 칸 확장과 국소화 기법을 사용하여, 특정 다이어그램을 보존하는 함자가 그 제한에 의해 결정됨을 보인다.
• 기저 사례에서 곱과 슬라이스 카테고리로 감소시켜, $Φ_{\text{LM}}$ 위의 카르테시안 가족의 섬유를 비교함으로써 요나다 동치를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나이드 ∞-카테고리 M에 대해 풍부화된 ∞-카테고리의 맥락에서 요나다 렘마는 어떻게 형식화되고 증명될 수 있는가?
• RQ2 M가 곱 구조를 지닐 경우, 쿼버 기반의 정의와 세갈 타입의 정의 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 풍부화된 ∞-카테고리는 M에 대해 왼쪽 텐서링된 카테고리와 어떻게 관련되어 있으며, 어떤 구조를 상속하는가?
• RQ4 요나다 렘마는 고차 카테고리적 맥락에서 풍부화된 ∞-카테고리 간의 대응관계 연구에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 내부 함자(내부 Hom)는 작도에서 어떤 역할을 하며, 어떻게 풍부화된 함자와 모듈러의 구성에 기여하는가?

주요 결과

• 풍부화된 ∞-카테고리의 정의를 풍부화된 쿼버의 카테고리 내의 결합 대수로 하였을 때, enriching 카테고리 M이 충분한 코로우프스를 지닌 모나이드 ∞-카테고리일 경우, 게프너-하우젠그의 정의와 동치임을 보였다.
• 모나이드 구조가 직접 곱으로 주어질 경우, 쿼버 기반의 정의는 ∞-카테고리의 세갈 타입 정의와 동치임을 보였다.
• 특정 다이어그램(카르테시안 다이어그램의 일반화)을 보존하는 함자의 카테고리는 전체 부분카테고리 위에서 정의된 함자의 카테고리와 동치이며, 이는 이러한 함자가 밀도 있는 부분카테고리에서의 값에 의해 결정됨을 보여준다.
• 이 풍부화된 맥락에서 요나다 렘마가 성립한다: 각 객체에 대응하는 표현 가능 프레시피어를 할당하는 함자는 완전히 충실하며, 전체 이미지는 특정 다이어그램의 보존 조건에 의해 특징지어진다.
• 작도 내부 함자의 구성은 풍부화된 ∞-카테고리 간의 함자 카테고리에 대해 정확한 묘사를 가능하게 하며, 특히 우측 칸 확장의 관점에서 설명된다.
• Φ_{\text{LM}} 위의 카르테시안 가족의 섬유 간 비교를 통해 요나다 사상이 동치임을 확인하였으며, 섬유는 곱과 슬라이스 카테고리로 식별되며, 이는 풍부화된 맥락에서 요나다 임bedding이 완전히 충실함을 확인한다.