[논문 리뷰] Zero-sum path-dependent stochastic differential games in weak formulation

Dylan Possamaï, Nizar Touzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경로에 따라 변하는 동역학을 갖는 제로섬 스토크라스틱 미분 게임에서 약한 의미로 문제를 공식화함으로써, 강한 해가 필요로 하지 않는 피드백형 제어를 允허하면서, 게임 값의 존재성을 확립한다. 경로에 따라 변하는 이zaacs 조건과 관련된 HJB 방정식의 점성해의 유일성 하에, 게임 값은 존재하며, 이를 두 번째 순서의 역방향 SDE를 통해 특성화할 수 있다.

ABSTRACT

We consider zero-sum stochastic differential games with possibly path-dependent controlled state. Unlike the previous literature, we allow for weak solutions of the state equation so that the players' controls are automatically of feedback type. Under some restrictions, needed for the a priori regularity of the upper and lower value functions of the game, we show that the game value exists when both the appropriate path-dependent Isaacs condition, and the uniqueness of viscosity solutions of the corresponding path-dependent Isaacs-HJB equation hold. We also provide a general verification argument and a characterisation of saddle-points by means of an appropriate notion of second-order backward SDEs.

연구 동기 및 목표

• 제어가 단순하거나 마코프 형식으로 제한된 전통적인 스토크라스틱 미분 게임 공식화에서 발생하는 비대칭성과 기술적 과제를 해결하기 위해.
• 상태 SDE의 강한 해가 필요로 하지 않는 피드백형 제어를 允허하는 약한 공식화 프레임워크를 개발하기 위해.
• 경로에 따라 변하는 이zaacs 조건과 점성해의 유일성 하에 게임 값의 존재성을 증명하기 위해.
• 약한 공식화 설정에서 두 번째 순서의 역방향 SDE를 통해 안장점(saddle-points)을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 상태 과정이 브라운 운동에 의해 구동되는 경로에 따라 변하는 SDE의 약한 해로서 스토크라스틱 미분 게임을 약한 의미로 공식화한다.
• 양측의 제어에 대해 비예측적이고 점진적으로 측정 가능한 제어를 사용하여, 단순하거나 마코프 형식의 제어 제한을 피한다.
• Ekren, Touzi, Zhang가 제안한 경로에 따라 변하는 점성해의 이론을 활용하여 비마코프형 동역학을 다룬다.
• Pham과 Zhang의 영감을 얻은 동적 프ogramming 추론을 활용하여 상한 및 하한 가치 함수를 유도한다.
• 게임 값과 경로에 따라 변하는 이zaacs–HJB 방정식의 해 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 두 번째 순서의 역방향 SDE를 바탕으로 한 검증 추론을 활용하여 안장점을 특성화하고, 게임 값이 잘 정의되어 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로에 따라 변하는 동역학을 갖는 제로섬 스토크라스틱 미분 게임에서 게임 값은 어떤 조건 하에 존재하는가?
• RQ2 약한 공식화 프레임워크는 전통적 공식화에서 발생하는 비대칭성과 제어 제한을 어떻게 해결하는가?
• RQ3 경로에 따라 변하는 이zaacs 조건은 게임 값의 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 약한 공식화 설정에서 게임 값은 두 번째 순서의 역방향 SDE를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 경로에 따라 변하는 HJB 방정식의 점성해의 유일성은 게임 값의 존재성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 경로에 따라 변하는 이zaacs 조건이 성립하고, 관련된 경로에 따라 변하는 HJB 방정식의 점성해가 유일할 경우, 게임 값은 존재한다.
• 약한 공식화는 강한 해가 필요로 하지 않는 피드백형 제어를 허용하여, 이전 문헌에서의 기술적 제약을 피한다.
• 게임의 가치 함수는 경로에 따라 변하는 이zaacs–HJB 방정식의 유일한 점성해로 특성화된다.
• 적절한 두 번째 순서의 역방향 SDE의 개념을 통해 안장점이 특성화되며, 이를 검증 메커니즘으로 활용할 수 있다.
• 표준 점성해의 유일성 조건 하에, 이 결과는 전통적인 마코프 설정을 일반화한다. 테스트 함수 클래스는 전통적 경우를 포함하기 때문이다.
• 이 프레임워크는 드리프트 및 디퓨전 항목 모두에서 경로에 따라 변하는 계수를 허용하여, 마코프형 또는 단순 제어 설정을 초월한다.