[論文レビュー] 3D Volume Calculation For the Marching Cubes Algorithm in Cartesian Coordinates

Shuqiang Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、発散定理を用いて3次元直交グリッドにおける部分体積を計算する新規手法を提案する。Marching Cubesアルゴリズムにおける従来の四面体分割の代わりに、発散が一定であるベクトル場（例：f = (x,y,z)）を選択することで、等値面を介した表面積分により体積を計算する。これにより、四面体分割に比べてより堅牢で、効率的かつコードにやさしいアプローチが得られる。

ABSTRACT

From a scalar field defined at the corner of a cube, an isosurface can be extracted using the Marching Cube algorithm. The isosurface separates the cell into two or more partial cells. A similar situation arises when an material interface in the Front Tracking method cuts through the computational cells. A popular method to calculate the volumes of the partial cells is to first partition the cells into tetrahedra and then sum together the volumes of the tetrahedra for the corresponding partial cells. In this paper, the divergence theorem is used to calculate the volumes of the partial cells generated by the Marching Cubes algorithm. This method is both more robust and efficient compared with the tetrahedralization approach.

研究の動機と目的

• Marching Cubesアルゴリズムにおける部分セル体積を効率的かつ堅牢に計算する手法の不足を解消すること。
• 複雑な界面配置における四面体分割に基づく体積計算の複雑さとコーディングの難易度を克服すること。
• 体積積分に発散定理を用いることで、数値的に安定かつ計算効率の良い代替手法を提供すること。
• マルチフェーズおよび界面問題における埋め込み境界法やフロント追跡法での正確な体積計算を可能にすること。
• 23種類の固有の立方体配置すべてに対して一貫性があり、ラベル付けされたテンプレートシステムを用いて実装を簡素化すること。

提案手法

• 体積を表面積分として計算する発散定理を適用する：体積 = (1/3) ∫∂Ω n·f dS、ここで f = (x,y,z) により ∇·f = 3 が保証される。
• ベクトル場 f = (x,y,z) を用いることで ∇·f = 3 が成り立ち、閉じた界面を介した表面積分により正確な体積計算が可能になる。
• 界面は平面の面に三角形分割され、表面積分は2次数値積分法を用いて評価され、三角形メッシュ上での正確な結果が得られる。
• コーディング実装のため、頂点、辺、面を体系的に特定する2文字のラベル体系（例：v0, e0, W, I）を用いる。
• 256通りの立方体配置は対称性を用いて23種類の固有ケースに簡略化され、それぞれについて事前に計算された三角形分割と表面積分が提供される。
• 各ケースについて、1つの成分の体積は表面積分により計算され、残りの成分は立方体全体の体積から差し引くことで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散定理は、Marching Cubesアルゴリズムにおける3次元直交グリッドの部分体積計算に効果的に適用可能か？
• RQ2 発散定理に基づく手法は、四面体分割に比べて体積計算において堅牢性と効率性に優れているか？
• RQ3 23種類の固有の立方体配置すべてに対して一貫性があり、コードにやさしいラベル付けと三角形分割の体系を構築できるか？
• RQ4 埋め込み境界法やフロント追跡法で正確な界面体積計算を要する文脈において、本手法は適しているか？
• RQ5 この文脈で表面積分による正確な体積計算を保証するベクトル場の選択は何か？

主な発見

• 発散定理に基づく手法は、三角形界面において2次数値積分法を用いることで、四面体分割に起因する数値誤差を回避し、正確な体積計算を実現する。
• 本手法は、複数のエッジおよび面の交差を伴う複雑な界面トポロジーを扱う場合でも、四面体分割よりも堅牢で効率的である。
• 頂点、辺、界面の三角形を示す一貫性のあるラベル体系（例：v0, e0, I, W）を用いることで、コーディングが簡素化される。
• 23種類の固有の立方体配置は、すべて事前に計算された三角形分割と表面積分寄与量とともに完全に列挙されている。
• 本手法により、楕円型／放物型界面問題、2相不圧縮流体の流れ、磁気流体力学的流れなどの応用分野における正確な体積計算が可能になる。
• 立方体全体の体積が利用され、補完的な成分の体積が計算され、計算の重複が低減される。