[논문 리뷰] A Benchmarking Study of Quantum Algorithms for Combinatorial Optimization

Krishanu Sankar, Artur Scherer외 9명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 46인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최대 컷(MaxCut) 문제를 해결하기 위해 측정 피드백을 통한 코herent Ising 기계(MFB-CIM), 이산 이완 양자 계산(DAQC), 그리고 Dürr–Høyer 양자 최소값 탐색(DH-QMF) 알고리즘의 세 가지 양자 알고리즘을 벤치마킹한다. MFB-CIM은 Θ(2^√n)의 중앙값 해답 시간 스케일링을 보이며, DAQC(지수적 n에 비례)와 DH-QMF(˜O(√(2^n)))에 비해 뚜렷한 성능 우위를 보이며 조합 최적화 문제에 대해 상당한 이론적 속도 향상을 보여준다.

ABSTRACT

We study the performance scaling of three quantum algorithms for combinatorial optimization: measurement-feedback coherent Ising machines (MFB-CIM), discrete adiabatic quantum computation (DAQC), and the Dürr-Hoyer algorithm for quantum minimum finding (DH-QMF) that is based on Grover's search. We use MaxCut problems as a reference for comparison, and time-to-solution (TTS) as a practical measure of performance for these optimization algorithms. For each algorithm, we analyze its performance in solving two types of MaxCut problems: weighted graph instances with randomly generated edge weights attaining 21 equidistant values from $-1$ to $1$; and randomly generated Sherrington-Kirkpatrick (SK) spin glass instances. We empirically find a significant performance advantage for the studied MFB-CIM in comparison to the other two algorithms. We empirically observe a sub-exponential scaling for the median TTS for the MFB-CIM, in comparison to the almost exponential scaling for DAQC and the proven $\widetilde{O}\left(\sqrt{2^n} ight)$ scaling for DH-QMF. We conclude that the MFB-CIM outperforms DAQC and DH-QMF in solving MaxCut problems.

연구 동기 및 목표

• 이론적 성능 스케일링을 세 가지 서로 다른 양자 알고리즘에 대해 이상적이고 노이즈가 없는 조건에서 평가하기 위해.
• MaxCut 문제를 대표적인 NP-난이도 문제로 간주하여 MFB-CIM, DAQC, DH-QMF의 해답 시간(TTS) 성능을 비교하기 위해.
• 유니터리와 소산성 양자 알고리즘의 본질적 자원 요구량과 스케일링 행동을 현재 하드웨어 제약과 독립적으로 분리하고 분석하기 위해.
• 양자 알고리즘이 딱히 의미 있는 이론적 우위를 고전 히وري스틱스보다 하드한 최적화 문제를 해결하는 데 달성할 수 있는지 판단하기 위해.

제안 방법

• 연구는 MaxCut 문제를 기준으로 삼으며, 이는 결합 J_ij와 국부적 필드 h_i를 가진 이징 스핀 거품 모델로 매핑된다.
• DAQC의 경우, 이산 이완 진동은 회로 모델 양자 컴퓨터에서 단위 유니터리 진동을 사용한 트로터화된 근사로 이완 경로를 구현한다.
• DH-QMF 알고리즘은 그로버의 검색을 기본 원리로 사용하며, 제어된 단계 이동과 모듈로 산술을 이용해 스핀 구성의 에너지를 계산하는 맞춤형 양자 오라클을 구현한다.
• 에너지 오라클 O_E는 J_ij 연산을 순차적으로 실행하여 드래퍼의 QFT 기반 덧셈 기법을 활용해 효율성을 높인다.
• 두 구성 간의 비교 단계는 에너지 비교에 따라 플래그 큐비트를 출력하는 로그 깊이의 비교 회로를 사용한다.
• 전체 그로버 반복은 플래그 큐비트에 작용하는 제어-노트 게이트와 쓰레기 상태를 지우기 위한 역연산을 포함하며, 프로젝트Q를 사용해 회로 깊이와 게이트 복잡도를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이deal 조건 하에서 MaxCut 문제에 대해 MFB-CIM, DAQC, DH-QMF의 해답 시간(TTS) 스케일링 행동은 어떻게 비교되는가?
• RQ2 회로 모델 양자 컴퓨터를 사용해 MaxCut 문제에 대해 DH-QMF 알고리즘을 구현할 때의 이론적 자원 비용(회로 깊이와 게이트 복잡도)은 얼마인가?
• RQ3 소산성 MFB-CIM 접근법은 DAQC와 DH-QMF와 같은 유니터리 접근법보다 더 나은 渐近적 스케일링을 달성하는가?
• RQ4 특히 밀도가 높은 그래프의 경우, 에너지 평가를 위한 양자 오라클을 큐비트와 게이트 수 측면에서 효율적으로 구현할 수 있는가?

주요 결과

• MFB-CIM의 중앙값 해답 시간(TTS)은 Θ(2^√n)로 스케일링되며, 이는 고전적 방법과 다른 양자 방법에 비해 비지수적 스케일링 우위를 나타낸다.
• DAQC는 지수적 TTS 스케일링을 보이며 지수수 n에 해당하여 브루트 포스 검색의 최악의 경우 고전적 복잡도와 일치한다.
• DH-QMF 알고리즘은 증명 가능한 TTS 스케일링 Õ(√(2^n))을 달성하며, 이는 고전적 완전 검색에 비해 제곱근 수준의 양자 속도 향상이다.
• 에너지 오라클 O_E는 J_ij 연산의 순차적 실행으로 인해 회로 깊이 Θ(n² log log n + (log n)²)과 게이트 복잡도 Θ(n² log n log log n + (log n)²)을 기여한다.
• 오라클의 병렬화된 버전은 깊이를 Θ(n + (log n)³ + log log n)으로 줄일 수 있지만, O(n² log n)의 추가 큐비트가 필요하여 현재 자원 제약 조건에서는 실용적이지 않다.
• 전체 그로버 반복의 깊이는 Θ(n² log log n + (log n)² + n)이며, 게이트 복잡도 역시 동일한 항목에 의해 지배되며, 이는 알고리즘의 확장성 한계가 에너지 오라클에 있음을 확인한다.