[논문 리뷰] A bijection to count (1-23-4)-avoiding permutations

David Callan|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 13.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (1-23-4)를 피하는 순열—중간 두 원소가 인접한 네 개의 증가 원소를 포함하지 않는 순열—의 수를 세기 위한 2변수 재귀식을 제시한다. 이를 통해 증가하는 순서 트리에서 증가하는 잎을 갖는 구조와 이분기법을 통해 연결한다. 주요 기여는 이전의 4변수 버전에 비해 훨씬 단순화된 재귀식을 제공함으로써 효율적인 수세기와 더불어, 딜크 경로 및 2-구성에 대한 연결 고리들을 드러내는 데 있다.

ABSTRACT

A permutation is (1-23-4)-avoiding if it contains no four entries, increasing left to right, with the middle two adjacent in the permutation. Here we give a 2-variable recurrence for the number of such permutations, improving on the previously known 4-variable recurrence. At the heart of the proof is a bijection from (1-23-4)-avoiding permutations to increasing ordered trees whose leaves, taken in preorder, are also increasing.

연구 동기 및 목표

• 이전에 네 개의 변수를 필요로 하던 (1-23-4)를 피하는 순열의 수를 세는 재귀식을 단순화하기 위해.
• (1-23-4)를 피하는 순열과 증가하는 순서 트리에서 증가하는 잎을 갖는 구조 사이의 이분기적 대응을 수립하기 위해.
• 이러한 순열을 더 효율적이고 구조적으로 통찰력 있는 방법으로 세기 위한 방법을 제공하기 위해.
• 통합된 코드 프레임워크를 통해 순열 패턴, 트리 구조, 딜크 경로 간의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 길이 n이고 특정 구조적 역할을 하는 k개의 원소를 가진 (1-23-4)를 피하는 순열의 수를 나타내는 u(n,k)에 대한 2변수 재귀식을 도입한다.
• 길이 n인 간선을 가진 증가하는 순서 트리에서 증가하는 잎을 갖는 구조와 (1-23-4)를 피하는 순열 사이의 이분기적 대응을 구성한다. 이때 루트의 출도수 k로 인덱싱된다.
• 트리에 대해 자르기와 재루팅 연산을 적용하여 재귀식을 유도한다. 이때 정점 1은 잎이거나 루트와 병합된다.
• 두 구조인 순열과 트리를 각각 (a_i, h_i)의 수열로 코드화한다. 여기서 a_i는 출도수를 세고, h_i는 자식의 위치를 인코딩하여 유일한 재구성 가능성을 보장한다.
• 재귀식과 밸리 마킹 딜크 경로의 수를 세는 것 사이의 동치성을 수립함으로써, 두 번째 조합론적 모델을 제공한다.
• 생성함수와 편미분방정식(PDE)을 적용하여 LRMin 세그먼트 및 자유 상행과 같은 통계를 모델링하고, 닫힌 형태의 생성함수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 알려진 4변수 재귀식에 비해 (1-23-4)를 피하는 순열의 수를 세는 데 더 단순한 재귀식을 찾을 수 있는가?
• RQ2 순열과 같은 자연스러운 조합론적 구조—예를 들어 트리 또는 경로—가 (1-23-4)를 피하는 순열을 이분기적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 (1-23-4)를 피하는 순열, 증가하는 순서 트리에서 증가하는 잎을 갖는 구조, 밸리 마킹 딜크 경로 사이의 구조적 관계는 무엇인가?
• RQ4 LRMin 세그먼트 및 자유 상행과 같은 순열 패턴의 통계는 닫힌 형태의 해를 갖는 생성함수로 기록될 수 있는가?
• RQ5 유사한 빠른 재귀식은 다른 비너큘라 또는 바이비너큘라 순열 패턴에 대해서도 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 길이 n이고 루트의 출도수 k인 (1-23-4)를 피하는 순열의 수를 나타내는 u(n,k)에 대한 2변수 재귀식을 수립하였으며, 이는 이전의 4변수 재귀식보다 훨씬 단순하다.
• (1-23-4)를 피하는 순열과 증가하는 순서 트리에서 증가하는 잎을 갖는 구조 사이의 이분기적 대응이 구성되었으며, 이때 루트의 출도수 k가 u(n,k)에 대응된다.
• 재귀식은 이와 같은 트리의 수와 길이 n인 반장경로에서 첫 번째 상행 길이가 k인 밸리 마킹 딜크 경로의 수를 세는 것과 동치임을 보여줌으로써 검증된다.
• a_i는 출도수를 나타내고, h_i는 자르기 후 부분트리에서 형제의 위치를 인코딩하는 (a_i, h_i) 수열을 사용한 코드 체계는 트리와 경로를 모두 고유하게 인코딩한다.
• 일阶 선형 PDE를 해결하여 닫힌 형태의 생성함수 F(x,y,z,w)를 유도하였으며, 이는 짧은 세그먼트, 긴 세그먼트, 자유 상행을 기준으로 순열을 수세기 위한 것이다.
• y=z=1일 때 생성함수는 (1−w)/(1−we^{x(1−w)})^{1/w}로 단순화되어 자유 상행을 세는 생성함수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.