[論文レビュー] A canonical linear system associated to adjoint divisors in characteristic $p > 0$

Karl Schwede|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、正標数 p > 0 における Frobenius 拉戻と Grothendieck トレース写像から導かれる、標準的な線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L) を導入する。この線形系が、Kawamata-Viehweg の消失定理が成立しないことによる失敗を避けるために、消失定理の代わりにテストイデアルを用いて、倍加されたテストイデアル τ(X, Δ) ⊗ O_X(L + nM) の大域的生成性を示す。主な結果は、L − K_X − Δ が大きな非負でない（big and nef）とき、τ(X, Δ) ⊗ O_X(L + nM) が大域的に生成されることであり、正標数における Fujita 型定理を一般化する。

ABSTRACT

Suppose that $X$ is a projective variety over an algebraically closed field of characteristic $p > 0$. Further suppose that $L$ is an ample (or more generally in some sense positive) divisor. We study a natural linear system in $|K_X + L|$. We further generalize this to incorporate a boundary divisor $\Delta$. We show that these subsystems behave like the global sections associated to multiplier ideals, $H^0(X, \mJ(X, \Delta) ensor L)$ in characteristic zero. In particular, we show that these systems are in many cases base-point-free. While the original proof utilized Kawamata-Viehweg vanishing and variants of multiplier ideals, our proof uses test ideals.

研究の動機と目的

• 特徴的 p > 0 における乗数イデアルの大域的生成性結果の類似を確立すること。これは、Kawamata-Viehweg の消失定理が成立しないために失敗するためである。
• Frobenius 拉戻と Grothendieck トレース写像から生じる、標準的線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L) を定義し、その性質を研究すること。
• L − K_X − Δ が大きな非負でないとき、この線形系が τ(X, Δ) ⊗ O_X(L + nM) を大域的に生成することを示し、Fujita 型定理を正標数に一般化すること。
• テストイデアルが、Nadel 型消失定理が成立しないにもかかわらず、特徴的 0 標数における乗数イデアルと同様に大域的に振る舞うことを示すこと。

提案手法

• 十分大きな e に対して、Frobenius トレース写像 H⁰(X, F^e_* (ω_X ⊗ L^{p^e})) → H⁰(X, ω_X ⊗ L) の安定像として、標準的線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L) を定義する。
• Grothendieck トレース写像 F^e_* ω_X → ω_X を用い、線分束でねじることで、全体切断の間の写像を構成する。
• テストイデアル τ(X, Δ) を乗数イデアル J(X, Δ) の特徴的 p > 0 における類似物として用い、その局所的および大域的性質を活用する。
• L − K_X − Δ が大きな非負でないという仮定の下で、S₀(X, ω_X ⊗ L^{n+1}) を用いて、τ(X, Δ) ⊗ O_X(L + nM) の大域的生成性を証明する。
• F^e_* (I_Z · L_{e,Δ}) を含む制限写像と完全列を用い、X 上の全体切断と F-純中心 Z 上のそれらを関連付ける。
• 結果を F-純なカルティエモジュールに一般化し、F-インジェクティブな仮定の下で、cohomology 奏の層 h^i(ω^q_X) ⊗ M^{d+i−1} ⊗ L の大域的生成性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的 0 標数における乗数イデアルの大域的生成性が、消失定理の代わりにテストイデアルを用いることで、正標数でも再現可能か？
• RQ2 L − K_X − Δ が大きな非負でないとき、標準的線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L) は τ(X, Δ) ⊗ O_X(L + nM) を大域的に生成するか？
• RQ3 Fujita の大域的生成性および埋め込みに関する予想が、正標数 p > 0 において、標準的線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L) を用いて拡張可能か？
• RQ4 Nadel の消失定理が成立しない状況において、正標数におけるテストイデアルの大域的挙動はいかなるものか？
• RQ5 F-純中心 Z への標準的線形系の制限写像が、基点自由性および全射性を保たれるか？

主な発見

• L − K_X − Δ が大きな非負でないとき、標準的線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L) は τ(X, Δ) ⊗ O_X(L + nM) を大域的に生成する。これは、正標数における大域的生成性を証明する。
• 強い F-正則な対 (X, Δ) に対して、同じ条件下で線分束 O_X(L + nM) が大域的に生成される。これは Fujita 型の結果を拡張する。
• L が非常に ample で大域的に生成されるとき、F-インジェクティブ多様体上で、S₀(X, ω_X ⊗ L) は基点自由である。滑らかさの仮定は不要である。
• 任意の F-純中心 Z に対して、S₀(X, σ(X, Δ) ⊗ O_X(M)) から S₀(Z, σ(Z, φ^Δ_Z) ⊗ O_Z(M)) への制限写像は全射であり、大域的生成性が保たれる。
• 曲線の場合、すべての n ≥ dim X に対して、標準的線形系 S₀(X, ω_X ⊗ L^{n+1}) は基点自由である。これは、次元 1 における Fujita の予想を確認する。
• 次元 d の射影的 F-インジェクティブ多様体 X に対して、−d < i < 0 のとき、h^i(ω^q_X) ⊗ M^{d+i−1} ⊗ L は M と L がそれぞれ大域的に生成され、L が非常に ample である限り、大域的に生成される。