[论文解读] A categorification of U_T sl(1,1) and its tensor product representations

Tian Yin|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 13

一句话总结

本文通过微分graded（DG）代数及其同调范畴，对量子超代数 $Υ_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 及其张量积表示 $V_1^{\bigotimes n}$ 建立了范畴化。它定义了DG范畴 $HP(A)$、$HP(B)$ 和 $HP(R_n)$，其格罗滕迪克群分别实现 $Υ_T(\mathfrak{sl}(1|1))$、其张量积以及 $V_1^{\bigotimes n}$，并将代数运算与表示作用提升为范畴函子。

ABSTRACT

We define the Hopf superalgebra U_T sl(1,1), which is a variant of the quantum supergroup U_q sl(1,1), and its tensor product representations V_1^{\otimes n} for n>0. We construct families of DG algebras A, B and R_n, and consider the DG categories DGP(A), DGP(B) and DGP(R_n), which are full DG subcategories of the categories of DG A-, B- and R_n-modules generated by certain distinguished projective modules. Their 0th homology categories HP(A), HP(B), and HP(R_n) are triangulated and give algebraic formulations of the contact categories of an annulus, a twice punctured disk, and an n times punctured disk. We categorify the multiplication and comultiplication on U_T sl(1,1) to a bifunctor HP(A) imes HP(A) --> HP(A) and a functor HP(A) --> HP(B), respectively. The U_T sl(1,1)-action on V_1^{\otimes n} is lifted to a bifunctor HP(A) imes HP(R_n) --> HP(R_n).

研究动机与目标

• 开发量子超代数 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$（即 $\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$ 的变体）及其基本表示的范畴化。
• 构造DG代数 $A$、$B$ 和 $R_n$，使其同调范畴 $HP(A)$、$HP(B)$ 和 $HP(R_n)$ 分别实现 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$、其张量积以及 $V_1^{\bigotimes n}$ 的格罗滕迪克群。
• 将 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 的代数乘法与余乘法提升为同调范畴 $HP(A)$ 与 $HP(B)$ 之间的函子。
• 将 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 在 $V_1^{\bigotimes n}$ 上的作用提升为函子 $HP(A) \times HP(R_n) \to HP(R_n)$，从而提供一个范畴化表示。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}$ 上定义具有生成元 $E, F, T, T^{-1}$ 和关系 $E^2 = F^2 = 0$，$EF + FE = I - T$，以及 $ET = TE$，$FT = TF$，$TT^{-1} = I$ 的霍普夫超代数 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$。
• 从掠图（rook diagrams）与堆叠的组合数据构造DG代数 $A$、$B$ 和 $R_n$，以编码 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 及其表示的代数结构。
• 将DG范畴 $DGP(A)$、$DGP(B)$ 和 $DGP(R_n)$ 定义为由特殊投射模生成的DG模全子范畴。
• 计算零阶同调范畴 $HP(A)$、$HP(B)$ 和 $HP(R_n)$，其为三角范畴，且分别实现与 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$、$\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1)) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 以及 $V_1^{\bigotimes n}$ 同构的格罗滕迪克群。
• 通过掠图上的右乘法与微分作用，定义DG $(H(R_n), A \boxtimes R_n)$-双模 $C_n$，确保其与关系及DG结构相容。
• 利用双模 $C_n$ 定义函子 $\eta_n: DGP(A \boxtimes R_n) \to DGP(H(R_n))$（通过张量积），从而诱导出函子 $HP(A \boxtimes R_n) \to HP(H(R_n))$，该函子实现了 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 在 $V_1^{\bigotimes n}$ 上的作用的范畴化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过DG代数及其同调范畴对霍普夫超代数 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 进行范畴化，以实现其格罗滕迪克群？
• RQ2 如何利用DG范畴与双模对 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 的张量积表示 $V_1^{\bigotimes n}$ 实现范畴化？
• RQ3 能否将 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 的余乘法与乘法运算提升为同调范畴 $HP(A)$ 与 $HP(B)$ 之间的函子？
• RQ4 能否将 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 在 $V_1^{\bigotimes n}$ 上的作用提升为函子 $HP(A) \times HP(R_n) \to HP(R_n)$？
• RQ5 该范畴作用是否在等价意义下满足结合律？何种条件可保证这种结合性？

主要发现

• $HP(A)$ 的格罗滕迪克群与 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 同构，其基元素对应于 $[P(\Gamma, \mathbf{x})]$，其中 $\Gamma \in \{E, F\}$ 且 $\mathbf{x} \in \mathcal{B}_n$。
• $HP(R_n)$ 的格罗滕迪克群与 $V_1^{\bigotimes n}$ 同构，其基由 $\{[P(\Gamma, \mathbf{x})]\}$ 给出，其中 $\Gamma \in \{E, F\}$ 且 $\mathbf{x} \in \mathcal{B}_{n,k}$。
• 诱导函子 $K_0(\cal{M}_n): K_0(HP(A)) \times K_0(HP(H(R_n))) \to K_0(HP(H(R_n)))$ 与 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 在 $V_1^{\bigotimes n}$ 上的作用一致，证实了表示的范畴化。
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 上的余乘法 $\Delta$ 被范畴化为函子 $HP(A) \to HP(B)$，乘法被范畴化为双函子 $HP(A) \times HP(A) \to HP(A)$。
• $C_n$ 上的右 $A \boxtimes R_n$-模结构是良定义的，且与DG微分相容，通过掠图上的局部关系与交换律验证。
• 通过 $\cal{M}_n$ 在 $HP(H(R_n))$ 上的 $HP(A)$ 作用是良定义的，且实现了代数作用的范畴化，其中 $K_0(\cal{M}_n)$ 与表示 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1)) \times V_1^{\bigotimes n} \to V_1^{\bigotimes n}$ 一致。