[論文レビュー] A clarification on the debate on "the original Schwarzschild solution"

Christian Corda|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、元々のシュバルツシルト解がヒルベルトによって導かれた標準的なシュバルツシルト解と物理的に同等であることを明確にし、長年の論争を解決する。表面に特異点があると解釈される場合と、点状の特異点（核）にあると解釈される場合の座標系の誤解が、この矛盾の原因である。核を中心とする座標系では、円周弧は $2\pi r$ に従うが、表面（シュバルツシルト半径）を中心とする座標系では、質量による曲率の影響で歪曲し、$2\pi r$ に従わない。このため、ブラックホールの存在について誤った結論が導かれる。

ABSTRACT

Now that English translations of Schwarzschild's original paper exist, that paper has become accessible to more people. Historically, the so-called "standard Schwarzschild solution" was not the original Schwarzschild's work, but it is actually due to J. Droste and, independently, H. Weyl, while it has been ultimately enabled like correct solution by D. Hilbert. Based on this, there are authors who claim that the work of Hilbert was wrong and that Hilbert's mistake spawned black-holes and the community of theoretical physicists continues to elaborate on this falsehood, with a hostile shouting down of any and all voices challenging them. In this paper we re-analyse "the original Schwarzschild solution" and we show that it is totally equivalent to the solution enabled by Hilbert. Thus, the authors who claim that "the original Schwarzschild solution" implies the non existence of black holes give the wrong answer. We realize that the misunderstanding is due to an erroneous interpretation of the different coordinates. In fact, arches of circumference appear to follow the law dl = rdϕ, if the origin of the coordinate system is a non-dimensional material point in the core of the black-hole, while they do not appear to follow such a law, but to be deformed by the presence of the mass of the central body M if the origin of the coordinate system is the surface of the Schwarzschild sphere.

研究の動機と目的

• 元々のシュバルツシルト解がブラックホールの非存在を示唆するかどうかという、継続中の論争を解決すること。
• 標準的シュバルツシルト解の歴史的帰属を明確にし、それがシュバルツシルトによって考案されたという誤解を是正すること。
• 「元々の」解が座標解釈の違いがあるものの、ヒルベルトが拡張した解と物理的に同等であることを示すこと。
• 元々の解においてブラックホールが存在しないとされる理由が、座標原点の違いに起因する空間幾何の誤解に由来することを示すこと。
• 標準的シュバルツシルト解の物理的妥当性を再確認し、ヒルベルトの仕事が一般相対性理論に根本的な誤りをもたらしたという主張を否定すること。

提案手法

• 現代の英語訳を用いて、1916年に発表されたシュバルツシルトの元々の論文を再分析し、その物理的内容を明確化する。
• 2つの座標系の比較：一つはシュバルツシルト半径（表面）に原点を置くもの、もう一つは点状の特異点（核）に原点を置くもの。
• 円周弧の数学的解析：核中心座標系では $dl = r d\varphi$ だが、表面中心座標系では質量による曲率の影響で $2\pi r$ から歪曲する。
• ビルコフの定理を適用し、球対称星の外部幾何がシュバルツシルト計量で一意に記述されることを確認する。
• 一様密度の星の半径方向収縮を追跡し、その表面の世界線を外部時空で追跡することで、捕獲面の形成を示す。
• 表面原点座標系から核原点座標系への座標変換を行い、ヒルベルトが修正した解と等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元々のシュバルツシルト解は、ヒルベルトに帰属される標準的シュバルツシルト解と物理的に異なるものか？
• RQ2 なぜ一部の著者が元々の解がブラックホールを排除すると主張するのか？この主張は妥当か？
• RQ3 座標原点（表面対核）の選択が、空間幾何と円周の解釈にどのように影響するか？
• RQ4 量子重力理論を用いずに、元々の解における見かけの特異点を除去できるか？
• RQ5 シュバルツシルトの元々の解とヒルベルトが拡張した解との物理的同等性は何か？

主な発見

• 元々のシュバルツシルト解は、座標表記の違いがあるものの、ヒルベルトによって導かれた標準的シュバルツシルト解と物理的に同等である。
• 元々の解がブラックホールを排除するとされる誤解は、円周幾何の誤解に由来する。円周弧が $2\pi r$ に従うのは、原点が核の点状特異点にある場合に限る。
• 座標原点がシュバルツシルト半径（表面）にある場合、中心質量の影響で円周弧が歪曲し、$2\pi r$ に従わない。このため、ブラックホールの非存在について誤った結論が導かれる。
• $r = r_g$ における特異点は物理的特異点ではなく、座標の問題であり、座標変換によって解消され、標準的解の妥当性が確認される。
• 古典的一般相対性理論の枠組み内で中心特異点を除去する唯一の方法は、収縮星の内部幾何の仮定を変更することであり、これは参考文献 [7]–[16] で検討されている。
• ヒルベルトの貢献は誤りではなく、むしろ解の物理的内容を正しく形式化したものであり、彼の仕事が誤ったブラックホール理論の基盤を築いたという主張は根拠がない。