[논문 리뷰] A class number formula for Picard modular surfaces

Aaron Pollack, Shrenik Shah|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모티브(cohomology)에서 새로운 Beilinson–Flach 클래스를 구성하고 그들의 아르키메데스 조건자 쌍을 계산하여 피카르 모듈라 표면에 대한 클래스 수 공식을 수립한다. 비임계 도함수를 포함한 6차 표준 $L$-함수의 특수값 공식을 증명하며, 이는 이 수론적 맥락에서 Beilinson의 추측에 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

We investigate arithmetic aspects of the middle degree cohomology of compactified Picard modular surfaces $X$ attached to the unitary similitude group $\mathrm{GU}(2,1)$ for an imaginary quadratic extension $E/\mathbf{Q}$. We construct new Beilinson--Flach classes on $X$ and compute their Archimedean regulator. We obtain a special value formula involving a non-critical $L$-value of the degree six standard $L$-function, a Whittaker period, and the regulator. This provides evidence for Beilinson's conjecture in this setting.

연구 동기 및 목표

• 피카르 모듈라 표면의 맥락에서 모티브 $L$-함수의 특수값에 대한 Beilinson의 추측에 대한 증거를 제공하는 것.
• 시겔 단위를 사용하여 모티브 코hom로의 명시적 클래스를 구성하고, 그들의 대수적 미분형식과의 조건자 쌍을 연구하는 것.
• 이러한 클래스의 아르키메데스 조건자를 계산하고, $\mathrm{GU}(2,1)$ 위의 임계표현의 표준 $L$-함수 도함수와 관련짓는 것.
• 조건자 쌍, 월리커 주기, 비임계 $L$-값 사이의 정확한 공식을 대수적 배수까지 연결하는 것.
• 조건자 쌍이 함수방정식과 국소 $L$-인자, 특히 분리 및 비분리 소수에서의 상호작용을 어떻게 유지하는지 검토하는 것.

제안 방법

• 시겔 단위와 자동형식 이론을 사용하여 피카르 모듈라 표면 위의 고차 코hom로 클래스를 구성하는 것.
• 랭킨-셀버그 방법을 적용하여 전역 $L$-함수를 자동형식 위에서 에이젠스타인 급수의 적분과 연결하는 것.
• 모티브 클래스에 대한 미분형식의 명시적 적분을 통해 아르키메데스 조건자 쌍을 계산하는 것.
• 국소 $p$-진 $L$-함수와 월리커 함수 이론을 사용하여 모든 자리에서 국소 인자를 계산하고, 분리, 비분리, 분기 소수를 구분하는 것.
• 소수의 분리 유형에 따라 장운스버그 및 간딩버그 유형의 국소 적분을 혼합하여 $L_p(\pi_p \times \nu_{1,p}, \mathrm{Std}, s)$ 라는 하이브리드 $L$-인자를 정의하는 것.
• 함수방정식과 $L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$의 해석적 계속성을 적용하여 $s=0$에서의 영점의 차수와 도함수의 비영점 여부를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구성된 모티브 클래스와 대수적 미분형식 사이의 조건자 쌍이 Beilinson의 추측과 일치하는 특수값 공식을 제공하는가?
• RQ2 모티브 클래스의 아르키메데스 조건자와 $\pi$의 표준 $L$-함수 도함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가? 이는 딜리클레 특성에 의해 스위치된 경우이다.
• RQ3 분리, 비분리, 분기 소수에서 국소 $L$-인자가 어떻게 행동하며, 전역 $L$-함수에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 전역 적분 $I(\Phi, \varphi_f, \nu, s)$ 가 $s=0$에서 해석적일 조건은 무엇이며, 이는 $L$-함수의 영점 차수에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 만약 $\nu_1^2 \cdot \omega_\pi|_{Z(\mathbf{A})}$ 가 비자명하거나 $\pi_p$ 가 어떤 분리된 자리에서 분기한다면, 조건자 쌍이 비영인 객체로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 특수값 공식을 수립한다: $\langle \xi, \omega \rangle =_{\overline{\mathbf{Q}}^\times} W(\pi) L'(\pi \times \nu, \mathrm{Std}, 0)$, 이는 조건자 쌍과 표준 $L$-함수 도함수를 연결한다.
• 주어진 가정 하에 전역 적분 $I(\Phi, \varphi_f, \nu, s)$ 는 $s=0$에서 해석적임을 보이며, 이는 $L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ 가 $s=0$에서 적어도 한계에서 영점임을 의미한다.
• 모든 비분리 소수에서 $\pi$ 가 비분기이고 $\alpha_p \neq 1$ 이면 모든 $p \in \Sigma$ 에 대해 공식 (62)의 우변은 비영이며, 이는 조건자 쌍이 비영임을 보장한다.
• $\pi$ 가 모든 비분리 소수에서 비분기이고 중심 특성 조건이 성립하는 가정 하에, $L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ 는 $s=0$에서 정확히 일계 영점임을 보장한다.
• 하이브리드 $L$-인자 정의 $L_p(\pi_p \times \nu_{1,p}, \mathrm{Std}, s)$ 는 소수의 분리 유형에 따라 장운스버그 및 간딩버그 유형의 국소 적분을 통합한다.
• 공식 (62) 는 전역 적분의 $s=0$에서의 값을 월리커 주기, 감마 인자, $L$-함수 도함수의 형태로 대수적 배수까지 명시적으로 표현한다.