[論文レビュー] A combinatorial invariant for Spherical CR structures

Elisha Falbel, Qingxue Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

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ひとこと要約

本稿では、$S^3$ 上の4個の一般点の交比を用いて、3次元球面的CR多様体に対する$¯{\mathcal{P}}(\mathbb{C})$値不変量を導入する。これは、点の配置から前ブローチ群への準同型を介して構成される。この不変量が数体$k$に対して$\mathcal{B}(k)$に値をとるとき、ブローチ正規化を介してチーン＝シモンズ不変量が得られる。ホワイトヘッドリンク補殻に対しては、この不変量は$\mathcal{B}(k)$における非自明な3階捩れ元であることが示され、球面的CR幾何における新しい捩れ不変量を提示する。

ABSTRACT

We study a cross-ratio of four generic points of $S^3$ which comes from spherical CR geometry. We construct a homomorphism from a certain group generated by generic configurations of four points in $S^3$ to the pre-Bloch group $\mathcal {P}(\C)$. If $M$ is a $3$-dimensional spherical CR manifold with a CR triangulation, by our homomorphism, we get a $\mathcal {P}(\C)$-valued invariant for $M$. We show that when applying to it the Bloch-Wigner function, it is zero. Under some conditions on $M$, we show the invariant lies in the Bloch group $\mathcal B(k)$, where $k$ is the field generated by the cross-ratio. For a CR triangulation of Whitehead link complement, we show its invariant is a non-trivial torsion in $\mathcal B(k)$.

研究の動機と目的

• 球面的CR構造を持つ3次元多様体に対して、$S^3$ 内の4点の一般的配置の交比を用いた組合せ的不変量を定義すること。
• 点の一般的4重配置の群から前ブローチ群$\mathcal{P}(\mathbb{C})$への準同型を構成すること。
• この不変量がCR三角形分割に依存しないこと、およびブローチ＝ワインナー二重対数関数の下で消えることを示すこと。
• 不変量が、交比によって生成される体$k$に対して、ブローチ群$\mathcal{B}(k)$に値をとる条件を同定すること。
• ホワイトヘッドリンク補殻に対して不変量を明示的に計算し、それが$\mathcal{B}(k)$における非自明な3階捩れ元であることを示すこと。

提案手法

• $S^3$ 内の4点の交比を用いて、$S^3$ 内の一般的4点組の群から前ブローチ群$\mathcal{P}(\mathbb{C})$への準同型を定義する。
• 四面体の和を用いて、CR三角形分割を持つ3次元多様体$M$に対して$\mathcal{P}(\mathbb{C})$値不変量$[M]$を構成する。
• 不変量にブローチ＝ワインナー二重対数関数を適用し、それが消えることを証明することで、位相的整合性を確認する。
• ホロノミーが数体に値をとる、または境界ホロノミーがユニポテンツであるなどの条件下で、不変量が交比によって生成される体$k$に対して$\mathcal{B}(k)$に値をとることを示す。
• 5項関係や$2([z] + [z^{-1}]) = 0$を含む、$\mathcal{P}(F)$における代数的恒等式を用いて、不変量の式を簡略化する。
• 与えられた交比を有する4つの理想CR四面体を用いて、ホワイトヘッドリンク補殻の不変量を明示的に計算し、$\mathcal{P}(F)$において$4[\frac{1}{2}]$に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面的CR 3次元多様体に対して、$S^3$ 内の4点の配置の交比を用いて前ブローチ群内の組合せ的不変量を構成できるか？
• RQ2 同じ多様体の異なるCR三角形分割に対しても、この不変量は不変のままであるか？
• RQ3 不変量が前ブローチ群ではなく、ブローチ群$\mathcal{B}(k)$に値をとる条件は何か？
• RQ4 ホワイトヘッドリンク補殻のような既知の例において、この不変量がブローチ群内で非自明か？
• RQ5 このような不変量は、ブローチ群内の捩れ元を検出できるか？そしてこれはチーン＝シモンズ不変量に何を意味するか？

主な発見

• ホワイトヘッドリンク補殻の不変量は、$F = \mathbb{Q}(\sqrt{-15})$ に対して$\mathcal{P}(F)$において$4[\frac{1}{2}]$に等しく、この元は$\mathcal{B}(F)$に属する。
• $\beta(W)$ は、$3\beta(W) = 0$ かつ $\beta(W) \neq 0$ を満たすため、$\mathcal{B}(F)$における非自明な3階捩れ元である。
• 不変量はブローチ＝ワインナー二重対数関数の下で消えるため、位相的不変性が確認された。
• ホワイトヘッドリンク補殻のチーン＝シモンズ不変量は0である。なぜなら$\beta(W)$が捩れ元であり、$\mathcal{B}(\mathbb{C})$が捩れ自由であるからである。
• 不変量はCR三角形分割に依存しない。なぜなら、配置複体から$\mathcal{P}(\mathbb{C})$への準同型によって定義されるからである。