[論文レビュー] A complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property

Uffe Haagerup, Søren Knudby+1 more|University of Southern Denmark Research Portal (University of Southern Denmark)|Dec 9, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、カジミンの性質 (T) を強化した新しい障害、性質 (T∗) を導入することで、近似性質 (AP) を持つ連結リー群の完全な特徴付けを提示する。著者らは、連結リー群が AP を持つための必要十分条件として、そのレヴィ分解における半単純部のすべての単純因子の実ランクが 1 以下であること、かつ、中心が有限な連結単純高ランクリー群がすべて性質 (T∗) を持つことを示し、これは AP を妨げる。

ABSTRACT

We give a complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property for groups (AP). To this end, we introduce a strengthening of property (T), that we call property (T*), which is a natural obstruction to the AP. In order to define property (T*), we first prove that for every locally compact group G, there exists a unique left invariant mean on the space of completely bounded Fourier multipliers of G. A locally compact group G is said to have property (T*) if this mean is a weak* continuous functional. After proving that the groups SL(3,R), Sp(2,R), and the universal covering of Sp(2,R) have property (T*), we address the question which connected Lie groups have the AP. A technical problem that arises when considering this question from the point of view of the AP is that the semisimple part of the global Levi decomposition of a connected Lie group need not be closed. Because of an important permanence property of property (T*), this problem vanishes. It follows that a connected Lie group has the AP if and only if all simple factors in the semisimple part of its Levi decomposition have real rank 0 or 1. Finally, we are able to establish property (T*) for all connected simple higher rank Lie groups with finite center.

研究の動機と目的

• 近似性質 (AP) を満たす連結リー群を完全に特徴付けること。
• AP の自然な障害として、新しい群の性質 (T∗) を導入し、その発展を図ること。
• 半単純部が閉じていない可能性がある連結リー群のレヴィ分解における技術的課題を解決すること。
• 中心が有限な実ランク ≥2 の連結単純リー群がすべて性質 (T∗) を持つことを証明し、AP の主要な障害を確立すること。
• 連結リー群が AP を持つための必要十分条件が、そのレヴィ分解におけるすべての単純因子の実ランクが 0 または 1 であることであることを示すこと。

提案手法

• 任意の局所コンパクト群 $ G $ に対して、完全有界フーリエ乗算子の空間 $ M_{0}A(G) $ 上に一意な両側不変平均の存在を示す。
• 性質 (T∗) を、この不変平均が $ M_{0}A(G) $ 上で弱*連続であることとして定義し、性質 (T) よりも強い障害を提供する。
• $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $, $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $, および $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2,\mathbb{R}) $ が性質 (T∗) を持つことを、表現論的および調和解析的技法を用いて証明する。
• 性質 (T∗) の永続性の性質を用い、閉部分群 $ H $ が $ G $ に局所同型で $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ や $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ と同型であるとき、$ H $ が (T∗) を持てば $ G $ も (T∗) を持つことを示す。
• Veech の不変平均に関する結果を応用し、畳み込み作用素と弱*連続性を用いて、部分群から全群への (T∗) の拡張を実現する。
• AP が群の拡張に関して保存されること、および可解群が AP を持つことを利用し、特徴付けをレヴィ分解の半単純部に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの連結リー群が近似性質 (AP) を満たすか？
• RQ2 非コンパクト群において AP を妨げる性質 (T) よりも強い障害を定義できるか？
• RQ3 レヴィ分解における半単純部が閉じていない場合の技術的問題は、AP を研究する上でどのように克服できるか？
• RQ4 中心が有限で実ランク ≥2 のすべての連結単純リー群が性質 (T∗) を持つか？
• RQ5 実ランク ≤1 であるという条件が、連結リー群における AP に対して必要かつ十分条件であるか？

主な発見

• 連結リー群が AP を持つための必要十分条件は、そのレヴィ分解における半単純部のすべての単純因子の実ランクが 1 以下であることである。
• $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{R}) $ は性質 (T∗) を持ち、AP を妨げる。
• $ \mathrm{Sp}(2,\mathbb{R}) $ は性質 (T∗) を持ち、AP を妨げる。
• 普遍被覆群 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}(2,\mathbb{R}) $ は性質 (T∗) を持ち、AP を妨げる。
• 実ランク ≥2 で中心が有限のすべての連結単純リー群は性質 (T∗) を持ち、これはコンパクトでない限り AP を持たないことを示唆する。
• AP を持たない連結リー群は、必ず非コンパクトな閉部分群をもち、かつその部分群が性質 (T∗) を持つため、構造的障害をもつ。