[論文レビュー] A construction of admissible $A_1^{(1)}$-modules of level $-{4/3}$

Dražen Adamović|ArXiv.org|Jan 5, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理格子に関連する一般化された頂点代数を用いて、レベル $-4/3$ のアフィンリー代数 $A_1^{(1)}$ の明示的な許容的モジュールを構成する。$L(-4/3\Lambda_0)$ の単純頂点 operator 代数を格子構成により実現し、中心電荷 $c = -7$ の $Σ(2,5)$ 代数が $\widehat{su}(2)_{-4/3}$ WZW モデルのコセット構成として得られることを特定することで、対応する対数的表現の新しい実現が得られる。

ABSTRACT

By using generalized vertex algebras associated to rational lattices, we construct explicitly the admissible modules for the affine Lie algebra $A_1 ^{(1)}$ of level $-{4/3}$. As an application, we show that the W(2,5) algebra with central charge c=-7 investigated in math.QA/0207155 is a subalgebra of the simple affine vertex operator algebra $L(-{4/3}Λ_0)$.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数 $A_1^{(1)}$ のレベル $-4/3$ における非可約許容的モジュールの明示的構成を提供すること。
• 有理格子上の一般化された頂点代数を用いて、単純頂点 operator 代数 $L(-4/3\Lambda_0)$ を実現すること。
• $\mathcal{W}(2,5)$ 代数を中心電荷 $c = -7$ として $L(-4/3\Lambda_0)$ の部分代数として特定し、$\widehat{su}(2)_{-4/3}$ WZW モデルのコセット構成に関連付けること。
• $L(-4/3\Lambda_0)$ の中にある無限個の非 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-グレーディングな非可約部分モジュールの存在を示し、対数的構造を明らかにすること。

提案手法

• 有理格子 $L = \mathbb{Z}(\gamma + \delta) + \mathbb{Z}(\gamma - \delta)$ と双線形形式 $\langle \gamma, \gamma \rangle = -\langle \delta, \delta \rangle = 1/6$ を用いて、一般化された頂点代数 $V_L$ を構成する。
• スクリーニング作用素 $Q = e^{-6\gamma}_0$ を定義し、これにより $V_L$ の部分代数で $L(-4/3\Lambda_0)$ に同型であるものを特定する。
• $e, h, f$ を頂点作用素として実現することにより、$V_L$ 内に $\widehat{su}(2)_{-4/3}$-モジュール構造を特定する：$e = e^{3(\gamma - \delta)}$、$h = 4\delta(-1)$、$f = -\frac{2}{9}Qe^{3(\gamma + \delta)}$。
• $L(-4/3\Lambda_0)$ の $h(0)$-固有空間分解を分析し、$M^{(0)} = \ker_{L(-4/3\Lambda_0)} h(0)$ を頂点 operator 代数の部分代数として特定する。
• $M^{(0)}$ が $\overline{M(1)} \cong \overline{M_\gamma(1)} \otimes M_\delta(1)$ に同型であることを証明する。ここで $\overline{M_\gamma(1)}$ は中心電荷 $c = -7$ の $\mathcal{W}(2,5)$ 代数である。
• $L(-4/3\Lambda_0)$ と $M_\delta(1)$ のコセット $C(L(-4/3\Lambda_0), M_\delta(1))$ が $\overline{M_\gamma(1)}$ に同型であることを確立し、$\mathcal{W}(2,5)$ 代数がコセット部分代数として成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンリー代数 $A_1^{(1)}$ のレベル $-4/3$ における許容的モジュールは、どのように格子頂点代数技法を用いて明示的に構成できるか？
• RQ2 $L(-4/3\Lambda_0)$ の頂点 operator 代数の構造は何か？また、有理格子上の一般化された頂点代数とどのように関係しているか？
• RQ3 $c = -7$ の $\mathcal{W}(2,5)$ 代数は $L(-4/3\Lambda_0)$ の部分代数として実現可能か？もし可能であれば、どのような構成によって実現されるか？
• RQ4 スクリーニング作用素 $Q = e^{-6\gamma}_0$ は、$V_L$ 内の非可約モジュールや部分代数を特定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $L(-4/3\Lambda_0)$ と $M_\delta(1)$ のコセット構成 $C(L(-4/3\Lambda_0), M_\delta(1))$ は、既知の $\mathcal{W}$-代数と特定できるか？これにより $\widehat{su}(2)_{-4/3}$ の表現理論にどのような意味が生じるか？

主な発見

• $L(-4/3\Lambda_0)$ は、双線形形式 $\langle \gamma, \gamma \rangle = -\langle \delta, \delta \rangle = 1/6$ を持つ有理格子から構成された一般化された頂点代数 $V_L$ の部分代数として実現される。
• $e = e^{3(\gamma - \delta)}$、$h = 4\delta(-1)$、$f = -\frac{2}{9}Qe^{3(\gamma + \delta)}$ によって生成される $V_L$ の部分代数は $L(-4/3\Lambda_0)$ に同型であり、許容的モジュールの明示的構成が得られる。
• $L(-4/3\Lambda_0)$ の $h(0)$-固有空間分解は $L(-4/3\Lambda_0) = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} M^{(i)}$ と表され、各 $M^{(i)}$ は $M^{(0)} = \ker_{L(-4/3\Lambda_0)} h(0)$ における単純モジュールである。
• $M^{(0)} = \ker_{L(-4/3\Lambda_0)} h(0)$ は $\overline{M(1)} \cong \overline{M_\gamma(1)} \otimes M_\delta(1)$ に同型であり、ここで $\overline{M_\gamma(1)}$ は中心電荷 $c = -7$ の $\mathcal{W}(2,5)$ 代数である。
• $L(-4/3\Lambda_0)$ と $M_\delta(1)$ のコセット頂点代数 $C(L(-4/3\Lambda_0), M_\delta(1))$ は $\overline{M_\gamma(1)}$ に同型であり、$\mathcal{W}(2,5)$ 代数が中心電荷 $c = -7$ で $\widehat{su}(2)_{-4/3} / \widehat{u}(1)$ のコセットとして実現されることを確認する。
• この構成により、$V_L$ の中には無限個の非 $\mathbb{Z}_{\geq 0}$-グレーディングな非可約部分モジュールが存在し、$\widehat{su}(2)_{-4/3}$ 理論に対数的表現が存在することを示唆する。